數(shù)形結(jié)合思想及其應(yīng)用

甘芝活

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“形”與“數(shù)”兩個(gè)方面.“形”與“數(shù)”兩者之間并不是孤立的，而是有著密切的聯(lián)系.在一維空間，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在二維空間，實(shí)數(shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，進(jìn)而可以使函數(shù)解析式與函數(shù)圖象、方程與曲線建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使得數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究；反之，也可以使圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究.這種數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想.在使用過(guò)程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)，因此，數(shù)形結(jié)合思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化.所以，本文著重于“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化及應(yīng)用，擬從以下六個(gè)具體方面展開(kāi)：1.在研究集合關(guān)系中的應(yīng)用；2．在研究函數(shù)的性質(zhì)中的應(yīng)用；3．在研究不等式中的應(yīng)用；4．在研究解析幾何中的應(yīng)用；5.在研究方程的根的應(yīng)用；6.在研究平面向量中的應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合思想在研究集合關(guān)系中的應(yīng)用

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在研究集合時(shí)，可以用數(shù)軸、韋恩圖等表示集合，正是在這種條件下，使得我們?cè)谘芯考蠒r(shí)，可以用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)的問(wèn)題.

【例1】 巳知A={x｜｜x-a｜<4},B={x｜｜x-2｜>3}，且A∪B=R，求a的取值范圍.

分析：本題宜對(duì)集合A，B進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后，借助數(shù)軸的直觀，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化即可獲解.

解：A={x｜a-45},欲使A∪B=R，作一數(shù)軸如圖1所示：