二次不等式的解題探究

田　達

二次函數、二次方程、二次不等式的關系是互相聯系密不可分，同時也是高考數學科命題的熱點內容之一.以三個“二次”為載體考察函數有關問題的代數推理大題時有所見.需要我們認真研究并體會三者的內在關系、包含的數學思想以及相應的數學本質.下面我們重點對涉及二次不等式的有關問題進探討并予以歸納.

1.直接利用概念、性質類

此類問題只要熟悉相關概念、性質，一般比較簡單.如：

【例1】 二次函數y=ax²+bx+c(x∈R)部分對應值如下表：

則求不等式ax²+bx+c＞0的解集.

分析：（1）從二次函數的角度：只要求出函數關系式，利用相應性質非常簡單就可以解決問題.這樣本題就轉化為求二次函數的解析式.思路有三，其一設一般式y=ax²+bx+c用待定系數法.其二頂點式，頂點(p，h)，可設關系式y=a(x-p)²+h再根據題設條件求出a即可.其三交點式，(x₁，0)，(x₂，0)設函數式為y=a（x-x₁）(x-x₂)，求出a即可．

（2）直接利用二次不等式解集定理，只需要知道函數與軸x交點及a的符號既可求解過程略.

2.等價轉化類：

解決此類問題一要抓住問題的實質(包括隱含條件)，選擇適當的方法，當然也包括一些簡單技巧的應用.下面通過兩個簡單例子說明：

【例2】 已知關于x的不等式x>ax²+3/2的解集為：{x｜4

分析：本題考察不等式的解與方程根之間關系，注意題目特點x與x存在一種二次關系.可采用換元解決，設x=t(2at²+3/2,這樣本題成為關于t的二次不等式.過程略.

【例3】 已知不等式x²+px+1>2x+p.

(1)若不等式在｜p｜≤2時恒成立，求x的范圍.

(2)若不等式在2≤x≤4時恒成立，求p的范圍.

分析：此題含有兩個參數的不等式問題不能按常規處理，否則有可能使求解復雜化.解決關鍵是確定好不等式中的主變量，然后以主變量為出發點，選擇適當解法．一般地確定主變量原則是：題目范圍確定的量應視為主變量，另一個看成常數.據此第(1)個問題看成關于p的不等式，(2)問反之.

解析:(1)原不等式可化為(x-1)p+x²-2x+1>0.

令f(p)=(x-1)p+x²-2x+1,則為線性函數(x=1顯然不成立)，因而有：

f(-2)>0且f(2)＞0,即(x-1)(-2)+x²-2x+1>0,且(x-1)?2+x²-2x+1>0.

解之得x>3或x<-1.

(2)原式可化為(x-1)p＞x²+2x-1,

又∵2≤x≤4,

∴p＞(-x²+2x-1)/(x-1)=1-x,即﹑＞(1-x)﹎ax=-1.

3.綜和類

解決此類問題需要有較高的數學素養，熟練掌握函數的性質，靈活應用一些解題技巧以及相關數學思想.

【例4】 函數f(x)=ax²+bx+c的圖象過點(-1，0)，是否存在常數a、b、c使不等式x≤f(x)≤x²+12對一切實數x都成立?