例說最優化方法解實際問題

莊興釗

現實中有很多問題涉及到求最大最小值問題，初中數學競賽也有這類問題.解決這類問題可以用最優化方法.即首先構造一個目標函數，然后在限制條件下求目標函數的最大最小值，下面舉例說明.

【例1】 某廠有甲，乙兩個車間同時生產A，B兩種型號的零件.假設每生產1個A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，而每生產1個B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36．現有A型零件35個，B型零件25個，要求每個車間都生產30個，并且都生產有A，B兩種型號的零件，問怎樣分配才能使在保證乙車間獲利不小于980的情形下工廠獲利最大?

解：設分配給甲車間A型零件x個，由于生產總數是30個，故甲車間生產B型零件為(30-x)個.同樣設乙車間生產A型零件y個，則乙車間生產B型零件為(30-y)個.于是可以建立工廠獲利的目標函數為

M(x,y)=32x+40（30-x）+27y+36(30-y). ①

我們的目的是要求27y+36(30-y)≥980，即在1≤y≤11的限制條件下目標函數M(x,y)的最大值.由于A型零件總共有35個，因此可以利用關系式x+y=35來化簡①式，得到

M(x，y)=2000-y. ②

又注意到B型零件總共有25個，而要求每個車間都要生產有A，B兩種型號的零件.故y只能取6，此時甲車間生產A型零件29個，B型零件1個.乙車間生產A型零件6個，B型零件24個.工廠獲利最大為1944.

注：如果把上述限制條件“假設每生產1個A型零件甲車間獲利32”改為“假設每生產1個A型零件甲車間獲利30”，其他條件不變，則可以得到下述目標函數

M(x,y)=30x+40(30-x)+27y+36(30-y)=1930+y. ③

此時我們可以取y=11，甲車間生產A型零件24個，B型零件6個.乙車間生產A型零件11個，B型零件19個.工廠獲利最大為1944.

【例2】 某廠有甲，乙兩個車間同時生產A，B兩種型號的零件.假設每生產1個A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，而每生產1個B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36．現有A型零件35個，B型零件25個，要求每個車間都生產30個，并且都生產有A，B兩種型號的零件，問怎樣分配才能使甲，乙兩個車間所獲利潤之差為最小?

解：設分配給甲車間A型零件x個，由于生產總數是30個，故甲車間生產B型零件為(30-x)個，甲車間所獲利潤為32x+40(30-x)=1200-8x.同樣設乙車間生產A型零件y個，則乙車間生產B型零件為(30-y)個，乙車間所獲利潤為27y+36(30-y)=1080-9y.于是可以建立兩工廠獲利之差的目標函數為

M(x,y)=1200-8x-(1080-9y)=120-8x+9y. ④

我們的目的是要求x和y都取整數值且滿足x+y=35時M(x,y)取得最小值.很容易得到x=26，y=9，此時甲車間所獲利潤為992，乙車間所獲利潤為999.上述方法可以推廣到3個變元乃至n個變元的情形.

【例3】 某廠有甲，乙，丙三個車間同時生產A，B兩種型號的零件.假設每生產1個A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，丙車間獲利28，而每生產1個B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36，丙車間獲利38.現有A型零件48個，B型零件42個，要求每個車間都生產30個，并且都生產有A，B兩種型號的零件，問怎樣分配才能使在保證乙車間獲利不小于980的情形下工廠獲利最大?

解：設分配給甲車間A型零件x個，由于生產總數是30個，故甲車間生產B型零件為(30-x)個.設乙車間生產A型零件y個，則乙車間生產B型零件為(30-y)個.同樣設丙車間生產A型零件z個，則丙車間生產B型零件為(30-z)個.于是可以建立工廠獲利的目標函數為

M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+38(30-z). ⑤

限制條件仍然是1≤y≤11，利用關系式x+y+z=48來化簡⑤式，得到

M(x,y,z)=2940+2x+y. ⑥

現在的問題歸結為尋求x,y的取值使2x+y的值為最大，注意y的取值范圍是1≤y≤11，因此就取y的值為11，x取值為29時，目標函數M(x，y，z)取

得最大值3009，此時甲車間生產A型零件29個，B型零件1個.乙車間生產A型零件11個，B型零件19個.丙車間生產A型零件8個，B型零件22個.

注：如果把上述條件改為每生產1個B型零件丙車間獲利35，其他條件不變，則目標函數為

M(x,y,z)=32x+40(30-x)+27y+36(30-y)+28z+35(30-z). ⑦

同樣利用關系式x+y+z=48來化簡⑦式，得到

M(x，y，z)=2994-x-2y. ⑧

此時我們可以取y=1，由于B型零件總共有42個，因此x的取值最小可以為18，此時甲車間生產A型零件1個，B型零件29個.乙車間生產A型零件18個，B型零件12個.丙車間生產A型零件29個，B型零件1個.工廠獲利最大為2974.

【例4】 某廠有甲，乙，丙三個車間同時生產A，B兩種型號的零件.假設每生產1個A型零件甲車間獲利32(單位：百元，下同)，乙車間獲利27，丙車間獲利28，而每生產1個B型零件甲車間獲利40，乙車間獲利36，丙車間獲利37.現有A型零件48個，B型零件42個，要求每個車間都生產30個，并且都生產有A，B兩種型號的零件，問怎樣分配才能使三個車間獲利最均勻?

解：仍按例3的假設，則甲車間獲利為32x+40(30-x)=1200-10x，乙車間獲利為27y+36(30-y)=1080-9y，丙車間獲利為28z+38(30-z)，利用關系式x+y+z=48可以把丙車間獲利表示為660+10x+10y,于是甲車間獲利與乙車間獲利的差為

M(x,y)=1200-10x-1080+9y=120-10x+9y. ⑨

乙車間獲利與丙車間獲利的差為

N(x,y)=1080-9y-660-10x-10y=420-10x-19y. ⑩

由題意三個車間獲利最均勻就是要尋求x,y的取值使目標函數⑨和⑩與零最接近.因此可以令M(x,y)=0，N(x,y)=0，通過解方程組

求得x,y的取值.解方程組B11５脁=21.6，y=10.7，于是z=48-21.6-10.7=15.7，但由于零件數不能取小數，故取x=21，y=11，z=16，此時甲車間生產A型零件21個，B型零件9個.乙車間生產A型零件11個，B型零件19個.丙車間生產A型零件16個，B型零件14個.而甲，乙，丙三個車間獲利分別為990，981，980.