巧用整數解　妙解競賽題

宋聯初

整數解問題在數學競賽中一直是個熱點，它將古老的整數理論與整式性質、方程知識、平面幾何及函數有機結合，涉及范圍廣，方法靈活，綜合性強，題型多變，難度大.但其解法仍然是有章可循的，本文就這類問題的解法用實例加以說明.

1.整數與代數式

【例1】 若100a+64和201a+64均為四位數，且均為完全平方數，則整數a的值是______.

解析：設100a+64=m²，201a+64=n²，則32≤m，n<100，兩式相減得整理得101a=n²-m²=（n+m）?（n-m）,因為101是質數，且m+n<200,n-m≠101,所以n+m=101,故a=n-m=2n-101.代入201a+64=n²,整理得n²-402n+20237=0,解得n=59,或n=343（舍去）.所以a=2n-101=17.

評析：本例巧妙地利用參數m、n來解決，引入參數m、n使問題明朗化，代數式的性質直接用數量關系表示了，利用整數理論逐步轉化了數量關系，使問題得到解決.

2.整數解與方程

（1）分解因式法

【例2】 設關于x的二次方程（k²-6k+8）x²+（2k²-6k-4）x+k²=4的兩根都是整數．求滿足條件的所有實數k的值．

解析：（k-2）（k-4）x²+（2k²-6k-4）x+（k-2）?（k+2）=0.

分解因式得［（k-2）x+k+2］［（k-4）x+k-2］=0.