數學思想在幾何中的滲透

周海蓮

在初中幾何計算里，求三角形的邊、角、周長、多邊形的邊數等，都滲透著不少數學思想.

一、化歸思想

將所要研究和解決的問題能轉化為已經學過的問題來處理的數學思想稱為化歸思想，它是一種研究和解決數學問題的基本思想，如在求多邊形的內角和基本思路是將多邊形分割成三角形的內角和來求多邊形的內角和.

下面通過五邊形的內角和演繹出推導多邊形的內角和的方法.

【例1】 如圖，小穎和小芳分別利用圖①、②所示的兩種不同方法求出五邊的內角和，請你在圖③中用另一種方法求五邊形的內角和，并寫出求解過程.

解析：解法一：在一邊(AB)上取一點P，連接PC、PD、PE，它們將五邊形分成4個三角形，五邊形的內角和等于4個三角形的內角和減去一個頂點在AB邊上組成的平角，即4×180°-180°=540°.

解法二：連接AC，在AC上任取一點P，連接PD、PE.它們將五邊形分成4個三角形，五邊形的內角和等于4個三角形的內角和減去一個三個頂點在AC上組成的平角.即4×180°-180°=540°.

解法三：在AB上任取一點P，連接EP并延長對角線DB的延長線于點O，它們將五邊形分成3個三角形，五邊形的內角和等于3個三角形的內角和減去多加的∠O和∠APE，又加上少加的∠DBP.而∠DBP恰好是△OBP的外角，所以，而∠BPO=∠APE(對頂角相等)所以∠DBP=∠O+∠APE，所以五邊形的內角和等于3個三角形內角和，即

3×180°=540°.

二、分類思想

在三角形三邊之間的關系中，已知等腰三角形的兩邊求周長或已知周長求另外兩邊，滲透分類討論思想.

【例2】 已知等腰三角形的一邊長為7，另一邊長為3，求等腰三角形的周長.

分析：邊長為7的邊可以為腰，也可以為底邊，故需要分類討論.

解析：邊長為7的邊可以為腰，也可以為底邊，

若邊長為7的邊為腰，邊長為3的邊為底邊三角形的周長為：7×2+3=13.

若邊長為7的邊為底邊，邊長為3的邊為腰，而3+3=6<7．故腰為3，底的等腰三角形不存在，所以三角形的周長為13．

三、方程思想

在幾何的計算中，求三角形的角，多邊形的邊數，往往通過已知量和未知量的聯系建立起方程，通過解方程求出三角形未知的角和多邊形的邊數.

【例3】 已知△ABC的三個內角的度數之比為∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶7，試判斷這個三角形是什么三角形?

分析：已知條件中給出的是角之間的關系，并沒有具體給出角的度數，可借助方程來求角，由于只判斷三角形的形狀，不需要求出每個角的大小，只要求出最大的角就可以判斷三角形的形狀了.

解析：設∠A=x，∠B=2x，∠C=7x.根據三角形內角和定理，得x+2x+7x=180°,x=18°.

∠C=7x=7×18°=126°.

所以△ABC是鈍角三角形.

【例4】 一個多邊形的內角和比它的外角和的5倍少180°，求這個多邊形的邊數.

分析：因為任意多邊形的外角和等于360°,則這個多邊形內角和為5×360°-180°，利用多邊形的內角和公式，結合問題中的相等關系，可得方程進行求解.

解析：設這個多邊形的邊數為n，則它的內角和是(n-2)?180°，外角和是360°，根據題意列得方程(n-2)?180°=5×360°-180°,解得n=11.