美玉不留瑕

陳永恒

數學課本，是學生進行數學學習的根本，構建數學知識體系的藍本，解、證數學題的范本.因此，他應該具有良好的導向性和示范性.毫無疑問，現行高中數學課本(人教版)【注：以下簡稱課本】在這方面堪稱一塊精心雕五琢的美玉，不過，筆者認為其中也還存在些細微的瑕疵.

“簡易邏輯”是高一年級的必修內容，目的是使學生通過學習，初步認識數學命題的結構特征，并能對簡易的數學命題作出是真命題還是假命題的判斷．然而，課本第一冊(上)的一些命題在表述上欠妥，在導向上出現偏差，致使學生在思維上發生混亂，如P33習題1.7第2題：寫出命題“全等三角形一定是相似三角形”的否命題.其中的“一定”一詞，在此不但多余，且容易誤導學生.許多學生深信：“一定是”的否定是“一定不是”.就連與《課本》配套的《教師教學用書》上都是這樣寫的：不全等的三角形一定不是相似三角形.其實，“一定是”的否定應該是“不一定是”.本來，學生對否定某一結論就有點力不從心，還有必要再節外生枝嗎?而且，隨之而來的問題是：在讓學生判斷命題的真假時，允許下諸如“某命題不一定是真命題(或假命題)”這樣的結論否?

“三垂線定理及其逆定理”是《立體幾何》中的一個重要定理，其實質是刻畫這樣一個事實：平面α的一條斜線及其在α上的射影與α上的任一直線要么都垂直，要么都不垂直.在這里，“射影”是一個關鍵詞，是針對某一個平面而言的，解、證題時應讓學生引起充分的關注.但課本在緊接“三垂線定理及其逆定理”給出的（第二冊（下A）P31）例3.求證：如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內的射影在這個角的平分線所在直線上。是這樣處理的：

已知：∠BAC在平面α內，點Pα，PE⊥AB，PE⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E、F、O，PE=PF（如圖）.

求證：∠BAO=∠CAO.

證明：要證點O在∠BAC的平分線上，只需證明在平面α內的點O到這個角的兩邊距離相等.