關于函數值域的求法

戈秀英

函數的值域就是函數值的取值范圍，求函數值域是重點，更是難點.學生對函數值域的問題常感到頭疼.下面通過典型例題說明求函數值域的幾種方法.

一、常見函數的值域

一次函數y=kx+b（k≠0）的值域為R.

二次函數y=ax２+bx+c（a≠0），當a>0時，值域是[4ac-b２，+∞）；當a<0時，值域為（-∞， 4ac-b２].

指數函數y=aｘ（a＞0且a≠1）的值域為R.

對數函數y=ｌｏｇaｘ（a>0且a≠1）的值域為R.

正余弦函數的值域為[-1，1]，余切函數的值域為R．

二、求函數值域的方法

1．逆求法．主要適用于形如y=（c不為０）的函數，通過求函數反函數的定義域來確定函數的值域.

例1求y=的值域.

解:由y=解出x，得x=. ∵ 2y+1≠0，故函數的值域為y≠且y∈R.

2．分離常數法．主要適用于具有分式形式的函數解析式，通過變形將函數化成y=a+的形式.

例2求函數y=的值域.

解:由y=得y=1+. ∵ -1≤sinx≤1 ， ∴ -≤y≤-，即函數的值域是[-，-].

評注：此題也可把函數轉化為sinx=f（y）的形式，則-1≤f（y）≤1確定值域.

3．判別式法．能轉化為ａ（y）ｘ２+ｂ（y）ｘ+ｃ（y）=0的函數常用判別式法.主要適用于形如y=（a，d不同為零）的函數.

例3求函數y=的值域.

解:由 y=去分母得（y-1）x２+（1-y）x+y=0. （＊）

∵y=1時，方程（＊）無解，∴ y≠1.又 ∵ x∈R ∴ 方程（＊）的判別式?駐=（1-y）２-4y（y-1）≥0（y≠1），解得函數的值域是[-，1）.

評注:在由?駐≥0且a（y）≠0求出y的最值后，要檢驗這個最值在定義域內是否有相應的x值.

4．配方法．形如二次函數或 y=af２（x）+bf（x）+c （a≠0）的函數常用配方法.

例4求函數y=sin２x+4cosx+1的值域.

解: y=-cos２x+4cosx+2=-（cos２x- 4cosx+4）+6=-（cosx-2）２+6

當cosx=-1時，ymin=-3; 當cosx=1時，ymax=5．所以函數的值域是[-3，5].

評注:利用配方法時，注意f（x）的取值范圍.

5． 均值不等式法．利用基本不等式求出函數的最值進而確定函數的值域，要注意滿足“一正、二定、三等”.

例5求函數y=x （-3＜x＜0）的值域.

解: y=x=-≥-[]=-.

當且僅當x２=9-x２，即x=-時取等號，所以函數的值域是[-，+∞）.

評注:利用均值不等式求最值應驗證等號成立的條件.

6．換……