函數奇偶性在解題中的應用

周學勤

函數奇偶性是函數的基本性質之一,在中學數學教學中起到舉足輕重的作用.若能熟練掌握,靈活運用,對于一些題目具有獨特的功效.下面就筆者的一些實踐體會,舉例加以說明.

一、求函數的解析式

例1已知x∈（-1,1）,且f（x）是偶函數，g（x）是奇函數,若f（x）+g（x）=2lg（1+x）,求f（x）與g（x）的解析式.

解: 由f（x）+g（x）=2lg（1+x），得f（x）=2lg（1+x）-g（x）．（1）

∵f（x）是偶函數,g（x）是奇函數，∴ f（-x）=-f（x）,g（-x）=-g（x）.

故f（-x）=2lg（1-x）-g（-x），即f（x）=2lg（1-x）+g（x）.（2）

由（1）+（2）得2f（x）=2lg（1+x）+2lg（1-x）， ∴ f（x）=lg（1-x２）.

二、求值

例2已知關于x的方程x２-2arcsin（cosx）+a２=0有唯一解,求a的所有值.

解: 考察函數f（x）=x２-2arcsin（cosx）+a２,則其定義域為R,且為偶函數.由題設知f（x）=0有唯一解,而由于偶函數的圖像關于y軸對稱,故此解必為0．

三、求函數的周期

例3設f（x）為偶函數,g（x）為奇函數,且f（x）= -g（x+c）（c＞0）,則f（x）是以____為周期的函數.

解: ∵f（x）=f（-x）= -g（-x+c）=g（x-c）=-f（x-2c）， ∴ f（x+4c）=-f（x+4c-2c）=-f（x+2c）=f（x+2c-2c）=f（x）， ∴ f（x）是以4c為周期的周期函數.

四、求函數的值域

例4已知x，y∈R，且f（x+y）=f（x）+f（y），當x＞0時，f（x）＞0，f（1）=2，求f（x）在［-5,5］上的值域.

解: 令y=x=0,則有f（0）=0，令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x）=0.

∴f（x）為奇函數,而f（5）=f（4+1）=f（4）+f（1）=f（3+1）+f（1）=……=5f（1）=10，f（-5）=-f（5）=-10，故f（x）在［-5,5］上的值域為［-10,10］.

五、求函數的單調區間

１）；當1≥x２＞x１＞0時，g（x２）＜g（x１）.由g（x）是偶函數知，g（x）在［-∞,-1］上遞減,在[-1,0]上遞增.

六、比較函數值的大小

例6已知奇函數f（x）的定義域為R，它在[0,1]上是增函數,且f（x+1）是偶函數,試比較f（3），f（4），f（5）的大小.

解: ∵f（x）在[0,1]上遞增， ∴ f（1）＞f（0）．又∵ f（x）為奇函數， ∴ f（x）在[-1,0]上遞增，即f（0）＞f（-1）． ∴ f（1）＞f（0）＞f（-1）.

而f（x+1）是偶函數,即f（x+1）=f（-x+1）．則f（3）=f（2+1）=f（-2+1）=f（-1）=-f（1）．

f（4）=f（3+1）=f（-3+1）=f（-2）=-f（1+1）=-f（-1＋1）=-f（0）．

f（5）=f（4+1）=f（-4+1）=f（－３）=-f（3）=-ｆ（-1）.

∴f（5）＞f（4）＞f（3）.

七、證明命題

例7已知f（x）是定義在R上的奇函數,若f（x）=0有n個實根,證明n必為奇數.

證明:∵f（x）是R上的奇函數， ∴ f（-x）=-f（x），則f（0）=-f（0），即f（0）=0，即0是f（x）的一個實根.若f（x）=0除了x=0這個實根外,還有實根x１，x２，x３，…，xｋ（k∈N）.而f（x）是奇函數，可知-x１，-x２，-x３，…，-xｋ也必為f（x）=0的實根,即f（x）=0的非零實根必成對出現,故f（x）=0的實根個數n必為奇數.

八、證明條件等式

例8已知α≠kπ+，β≠kπ（k∈Z），且2（tgα+ctgβ）３+ctg３β+2tgα+2ctgβ=0.求證：tgα·tgβ=-1.

證明:構造函數f（x）=x３+x（x∈R），則有f（2tgα+ctgβ）+f（ctgβ）=0.

而f（x）顯然為奇函數,且是嚴格遞增的,則f（2tgα+ctgβ）=-f（ctgβ）=f（-ctgβ），由f（x）是嚴格遞增函數知2tgα+ctgβ=-ctgβ.整理即有tgα·ctgβ=-1.

九、證明不等式

例9求證:當x＜0時，f（x）=＞0.

證明:∵f（x）+f（-x）=0,則f（x）為奇函數.

當