例談方程在幾何計算中的應用

趙振昆

幾何圖形的計算問題，一般以求角度和線段長度最為常見，方法也很多，如用方程、三角函數、相似三角形成比例的線段，結合幾何中的重要定理，其中用方程求解是常用的數學方法．其靈活地設未知量求值是同學們應掌握的基本方法，同時應用也較廣泛，它是數形結合的重要內容之一．下面筆者就方程在幾何計算中的應用，列舉幾例加以說明，僅供參考.

例1如圖１，若2∠3＝3∠1，求∠2、∠3、∠4的度數．

解：由題意可知： 2∠3＝3∠1， ①∠1+∠3＝180°．②

說明：這里將∠1和∠3看做兩個未知量，列出方程組，從而得解.同學們要抓住圖形的特點，找出已知量和未知量的關系，樹立一種用方程解決問題的思想.

例2一個長方形的周長為26 cm，若它的長減少1 cm，寬增加2 cm，就變成了一個正方形，求它的長和寬各是多少，并求出它的面積S是多少.

解：設長方形的長為ｘ cm，寬為ｙ cm，則可得方程組2（x+y）=26，x-1=y+2．

整理得x+y=13，x-y=3．解得x=8，y=5．

∴長方形的長為8 cm，寬為5 cm，面積S＝40 cm２．

例3如圖２，在等腰三角形中，一腰上的中線把三角形的周長分為6 cm和15 cm兩部分，求此三角形的底邊長是多少.

點撥：本題關鍵是對中線把三角形的周長分為兩部分的理解，應仔細審題.題目中兩部分是指（AB+AD）一部分，另一部分是指（DC+BC）,因為AD=DC，可將AB與AD當做兩個未知量列方程組，更重要的是本題要分兩種情況考慮．

解：（1）AB+AD=6，DC+BC=15．解得AB=AC=4，BC=11．

因為AB+AC=8＜11，所以此種情況不成立.

（2） AB+AD=15，DC+BC=6． 解得AB=AC=10，BC=4．

因為AB+AC＞4，所以底邊長為4 cm．

說明：分類討論是一種很重要的數學思想，它有助于培養學生養成嚴謹的思維習慣，對所得結果進行辨析，篩選出科學的結論，避免出現魚目混……