解析疊紙問題

張紅英

關(guān)于疊紙問題一直是近幾年來中考考查的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，疊紙問題考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解能力、動(dòng)手操作能力和空間想象力，如何把握這類問題的解題方法至關(guān)重要.

例1如圖１，矩形紙片ABCD中，AD=4 cm，AB=10 cm，按如圖方式折疊，使B與D重合，折痕為EF，試求DE的長(zhǎng).

方法：把握疊前疊后兩圖形的關(guān)系——關(guān)于折痕軸對(duì)稱（即全等），從而各對(duì)應(yīng)線段，各對(duì)應(yīng)角相等.

解：設(shè)DE=x．由疊紙可得DE=BE=x，AE=AB-BE=10-x，AD=4，△ADE是直角三角形，所以AD２+AE２=DE２，即4２＋（10－x）２＝x２．解得x＝5.8，即DE=5.8 cm.

例2如圖２，先把一矩形紙片ABCD對(duì)折，設(shè)折痕為MN，展開后再把B疊在折痕線上得到△ABE，展開后過B點(diǎn)折紙片，使點(diǎn)D疊在直線AD上，得折痕PQ.

（1）求證△PBE∽△QAB.

（2）你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似，給出證明；如果不相似，請(qǐng)說明理由.

（3）如果沿直線EB折疊紙片，點(diǎn)A是否能疊在直線EC上，為什么？

分析：解決此類問題，學(xué)生要善于動(dòng)手，邊操作邊審題，關(guān)鍵把握好題中所含等量關(guān)系，只有在不斷的動(dòng)手操作中，在不斷的疊起——展開過程中，才能發(fā)展空間想象力.

（等量關(guān)系：疊前疊后兩圖形的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等）

解：（1）由疊紙可得∠ABE=90°， ∴ ∠1+∠2=90°．在Rt△ABQ中∠2+∠3=90°， ∴ ∠1=∠3．又∵ ∠BPE=∠BQA=90°， ∴ △PBE∽△QAB.