立體幾何“難學”的成因及教學對策

梁勝海

普通高中的學生普遍反映“立幾難”，學習中常產生消極的自我暗示，對立體幾何怕學、懶學甚至不學，直接影響學生自身的數學素養．教學中為了改變這種現狀，我做了一些思考，思考了立體幾何“難學”的主要成因及對策，下面談談自己一些粗淺的體會．

1．學生識圖與畫圖能力差．學生做練習時明明知道要畫圖，但就是不知從何畫起．解題時畫不出圖形，弄不清圖形的真實形狀，又怎能學好立體幾何呢?一些教師中往往覺得《平面的概念》《平面圖形直觀圖的畫法》高考中“不考”，從而加快教學進度，殊不知問題恰恰出現在這里，因為這里已經開始體現《平幾》作圖與《立幾》作圖的區別和特點．我認為從這里到隨后的《空間兩條直線位置關系》等入門課，應適當放慢速度，多制作幾何模型，或利用多媒體的優越性，從多方位、多角度描繪立體圖形，解決平面立體圖形與真實立體圖形在視覺上的差異，循序漸進培養學生“看圖、辨圖、作圖、想圖”能力．還要多給學生畫圖機會，適當展示不同視覺情況下圖形的缺點，讓學生提出該怎樣畫，使學生在不斷改進中提高畫圖能力，并能根據圖形分析點、線、面的各種位置關系，這是《立幾》入門教學中必須過好的一關．

2．通過初中的學習和生活中對圖形的直觀認識，平面幾何的知識方法在一定程度上已起到負遷移的作用．立體幾何從平面上升為空間后，許多地方與學生原有認知結構發生了沖突．如平面幾何中一些常用的概念和定理，在立體幾何中卻“失效”了，平面幾何里利用直觀性觀察實驗得出結論的方法，也大都不能奏效了．但學生還是習慣沿用平面幾何的知識方法．針對這種情況，教學中很有必要把平面幾何中相關概念和定理作再認識與辨析、補充和拓展．如“同垂直一條直線的兩條直線平行”在平面幾何中是千真萬確的，在立體幾何中可就有三種位置關系了，再把它變式到“同垂直一個平面的兩條直線平行”、“同垂直一條直線的兩個平面平行”和“同垂直一個平面的兩個平面平行”還正確嗎?讓學生明確平面幾何有關定理在立體幾何中并非拈來就用的．又如“在四面體的四個面中，直角三角形最多有幾個?”學生常常憑直觀想象，也想象不出個所以然來，就要與學生用i垂線定理進行論證，培養學生理性分析問題習慣，而不能僅用平面幾何的慣性思維來考慮，轉變思維方式．

3．不深入理解公理和定理，不善運用定理解題．一些學生學習概念、公理和定理，只是“死背”，而不是深入分析相關定理的內涵、外延和作用，應用定理分析解決問題的能力弱，考試解題時不知從何下手．教學中就要求老師與學生細致分析：定理的作用是什么?需具備什么樣的條件結論才成立?解題中怎樣運用?如三垂線(逆)定理作用是證明兩直線垂直，定理需具備的條件要有面內線、斜線和射影．應用思路是確定垂面——找(作)出垂線——確定斜線和射影——驗證面內線與斜線還是射影垂直——確定結論，而應用關鍵則是找(作)出垂面的垂線．教學中要特別有意識培養學生的應用能力，要有針對性設計應用定理的練習，讓學生會分析，應用所學定理來解決問題，進一步提高解題能力．

4．不懂常規數學思想方法的應用．轉化、分類、類比、運動變化思想是《立幾》中重要的思想方法，但學生不懂得運用，死守一隅，使解題中途夭折或出錯．如沿著幾何體表面的最短路程問題，沒有經驗的學生就在立體圖形中冥思苦想，就是不得其法．但只要懂得轉化為表面展開圖時，問題轉眼就迎刃而解了．像這樣的轉化，立體幾何中比比皆是：線線平行(或垂直)線面平行(或垂直)、面面平行(或垂直)的轉化、三種角(線線角、線面角、二面角)和四種距離(線線距、點面距、線面距、面面距)的轉化等．實踐證明，教學中適時滲透有關的思想方法，能強化學生思維的目標意識，有助于降低學習難度，溝通知識問的聯系，發展思維能力．

5．基礎題型訓練、總結不到位，不能形成自己的知識體系．老師在課堂上對各種基本題型的方法作了展示，學生聽是聽明白了，但不經過一定程度的練習和親身感悟．確切地說還是一知半解的．所以老師必須根據《立幾》主干知識整理編選一些能反映立體幾何通規通法的問題和習題，強化學生練習，要求學生做好題后糾錯和總結．要總結出：這種內容的題應怎樣切入?用的是什么方法?比如求點到平面的距離和二面角，常規解法都與點到平面的垂線有關，第一步當然是考慮圖中有沒有點到平面的垂線，如果沒有就要自己作，但怎樣作不是隨意而是有據的，通常是根據平面垂直的性質定理“面面垂直一線面垂直”來作．在《立幾》教學和訓練中要落實好這種常規，讓學生從訓練中獲得多次刺激大腦皮層的機會，把基礎題型和主干知識連成片，使知識方法不斷積累，構建起一個《立幾》內容與方法的網絡系統，達到轉化數學學業不良的目的．