巧用拋物線的對稱性解題

朱香彩

二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，是關于x=- 成軸對稱的拋物線，它的對稱軸是直線x=- ，利用它的對稱性，常常能使求解變得簡捷，優化解題過程.現舉例說明.

1.利用圖象的對稱性求代數式的值

例1拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=2，且經過P（3，0），則a+b+c的值為（）.

A.-1B.0C.1 D.2

解析：因為拋線線的對稱軸是直線x=2，且它經過P（3，0），又拋物線是軸對稱圖形，所以拋物線和x軸的另一個交點為（1，0）．當x=1時，y=a+b+c，即a+b+c=0.答案為B.

2.利用圖象的對稱性求對稱軸方程

例2已知拋物線經過A（2，5）和B（4，5），則該拋物線的對稱軸是什么？

解析：因為拋物線經過A（2，5），B（4，5）兩點，由拋物線的對稱性可知，當兩點的縱坐標相同時，這兩個點是對稱點，所以A和B是對稱點，對稱軸方程為x= =3，即對稱軸方程為x=3.

3.利用圖象的對稱性求確定函數的表達式

例3已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（-1，4），與x軸兩交點間的距離為6，求此拋物線的表達式.

解析：因為頂點坐標為（-1，4），所以對稱軸為x=-1.

又因為拋物線與x軸兩交點的距離為6，所以兩交點的橫坐標分別為x =-1-3,x2=-1+3.則兩交點的坐標為（-4,0）,（2,0）.

設拋物線的表達式為y=a（x+1）2+4.

再把（2，0）代入得a=- .

所以拋物線的表達式為y=- （x+1）2+4.

4.利用圖象的對稱性比較函數值的大小

例4已知二次函數y=x2-4x+1.

若x2-2>2-x1>0,試比較y1與y2的大小.

解析:因為拋物線的對稱軸為x=2,且x2-2>0，2-x1>0,

所以x1在對稱軸的左側，x2在對稱軸的右側.

又因x 到對稱軸的距離為｜x1-2｜=2-x1，

所以x2到對稱軸的距離為｜x2-2｜=x2-2.

由題意知x2-2>2-x1>0,即x2到對稱軸的距離大于x1到對稱軸的距離.

所以y2>y1.

5.利用圖象的對稱性確定點的坐標

例5已知拋物線經過A（-2，5）和B（4，5）、C（3，-2），則該拋物線上縱坐標為-2的另一個點的坐標為.

解析：仔細……