計數問題規律探索

鄭俊哲

計數問題，就是數數問題,當數目很小時,數的仔細些就能數對;數目不是很大時,找對規則也一定數不錯;但當數目很大時,就要有一定的技巧才能做到又快又對. 常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理、列表法、歸納猜想法、分類討論法等．

對于計數問題,常用到高斯求和公式：1+2+3＋…+n= （n+1）n.

一、枚舉法

例1如圖1，ABCD是一個正方形，邊長為2 ｃｍ，沿著圖中線段從A到C的最短長度為4 ｃｍ.這樣的最短路線共有多少條？請一一畫出來.

解：將各種路線一一列出，可知共6條，見圖2.

二、利用加法原理和乘法原理

加法原理做一件事，完成它有n類辦法，其中第一類辦法中有m1種方法，第二類中有m2種方法，…，第n類辦法中有mｎ種方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mｎ種不同的方法.

例2從甲地到乙地可乘火車，也可乘汽車或輪船.一天中火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

解：完成由甲地到乙地這件事有三類辦法：第一類辦法坐火車，一天中有4種不同走法.第二類辦法坐汽車，一天中有2種不同走法.第三類辦法坐輪船，一天中有3種不同走法.由加法原理得：4+2+3=9（種）．

乘法原理做一件事，完成它需要分成n個步驟，第一個步驟有m1種不同的方法，第二個步驟有m2種不同的方法，…，第n個步驟有mｎ種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1·m2·…·mｎ種不同的方法.

例3由數字1、2、3、4、5可組成多少個允許有重復數字的三位數？

解：組成允許有重復數字的三位數這件事可分三個步驟完成：第一步確定百位上的數字：有5種不同方法.第二步確定十位上的數字：有5種不同方法.第三步確定個位數字：有5種不同方法.由乘法原理：5×5×5=125（個）.

三、列表法

列表可簡單明確地反映題目中數量關系、計算的過程，既可提高效率、減少和避免錯誤，又有利于檢查分析數據、得出正確的實驗結論．

例4三邊都是正整數，且最長的邊為11的三角形有多少個？

解：設a，b，c 為三角形的三邊，且a≤b≤c，則c=11．又a+b>c,從而2b>11，所以6≤b≤11，我們按b的取值列表：

所以滿足條件的三角形共有：1+3+5+7+9+11=36（個）．

四、歸納猜想法

歸納猜想就是先對幾種簡單情形進行分析，然后從中歸納猜想出一般的規律,再進行推廣.

例51條直線最多將平面分成2個部分；2條直線最多將平面分成4個部分；3條直線最多將平面分成7個部分……

（1） 8條直線最多能把平面分成多少部分？

（2）n條直線最多能把平面分成多少部分？

解：1條直線最多將平面分成2個部分：S=1+1．

2條直線最多將平面分成4個部分：S=1+1+2．

3條直線最多將平面分成7個部分：S=1+1+2+3．

現在添上第4條直線．它與前面的3條直線最多有3個交點，這3個交點將第4條直線分成4段，其中每一段將原來所在平面部分一分為二，所以4條直線最多將平面分成 7+4=11個部分：S=1+1+2+3+4．

依此類推：8條直線最多將平面分成的部分數：S=1+1+2+3+4+5+6+7+8＝37（個）．

n條直線最多將平面分成的部分數：S=1+1+2+3+…+n= ．

五、分類討論法

分類討論的思想方法的實質是把問題“分而治之，各個擊破”．其一般規則及步驟是：（1）確定同一分類標準；（2）恰當地對全體對象進行分類，按照標準對分類做到“既不重復又不遺漏”；（3）逐類討論，按一定的層次討論，逐級進行；（4）綜合概括小結，歸納得出結論．

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