你來想數(shù)我來猜

星期二下午的數(shù)學興趣小組活動中，我在黑板上畫了4個圖，每個圖中都有8個數(shù)字，如圖1.

同學們都很納悶，不知道這幾個圖有什么用.

這時，我說：“我們先來做一個猜數(shù)字的游戲.”

同學們一聽要做游戲，就來勁兒了，教室里立刻響起一片掌聲.

我接著說：“同學們，你們先想好1~15中的一個整數(shù)，然后告訴我都哪幾個圖上顯示了這個數(shù)字，我就能說出這個數(shù)字是幾.”

王浩同學首先發(fā)言：“我想好的數(shù)字在（1）（2）（3）中都有，在（4）中沒有.”

我很快報出：“你想的數(shù)字是14.”

王浩吃驚地答道：“是的.”

接著，陳亮同學發(fā)言：“我想好的數(shù)字在（2）（3）中有，在（1）（4）中沒有.”

我又準確地說出：“你想的數(shù)字是6.”陳亮點頭表示正確.

又有幾位同學發(fā)言，我都準確無誤地說出了他們想的數(shù)字.

大家都感到驚奇，只有班上的“數(shù)學王子”劉濤一直沒有說話，這時他舉起了手，說：“我看這個游戲并沒有什么新奇的地方，只要仔細按要求找一下就可以確定所想的數(shù)了.而且，因為每個圖只有“有”和“無”兩種狀態(tài)，所以共有2×2×2×2=16種‘有無’情況，去掉‘無無無無’的情況，共有15種‘有無’情況.而這里的15個數(shù)字正好對應于15種‘有無’情況，如14對應于‘有有有無’，6對應于‘無有有無’.”教室里又響起了掌聲.

這時，楊明說：“可是我看李老師并沒有找，而且找起來也比較慢.”

“老師，您該不是把這15種對應關系全記住了吧？”王浩笑著問道.

我見大家討論得差不多了，就笑著說：“同學們的積極性都很高，開動了腦筋，發(fā)現(xiàn)了其中隱含的規(guī)律.不過我不是用‘記’的方法，而是用‘算’的方法.同學們，你們知道是怎么算的嗎？”

教室里靜了下來，有的同學已經(jīng)開始用筆算了起來.

過了一會兒，陳亮舉起了手，高興地說：“我知道了！只要把所有包含所想數(shù)字的圖中的第一個數(shù)字相加就可以得到這個數(shù)！”

大家都趕緊嘗試，很快都報以熱烈的掌聲.

緊接著，我開始講課了.

其實，我們今天做的游戲與二進制有關.我們通常用的數(shù)字是十進制的，也就是說逢十進一.任何一個十進制的整數(shù)，總可以寫成a0×10n+a1×10n-1+…+an - 1×101+an的形式.如2 008=2×103+ 0×102+ 0×101+ 8.我們稱10是十進制記數(shù)法的基數(shù).

計算機通常用的是二進制數(shù)，這是因為計算機的計算和記憶元件只有兩種不同的狀態(tài)，如“開”、“關”.二進制是逢二進一的，只有0、1兩個數(shù)碼.任何一個二進制的整數(shù)，都可以表示成a0×2n+a1×2n - 1+…+an - 1×21+an的形式.如二進制數(shù)1010=1×23+0×22+1×21+ 0.我們稱2是二進制記數(shù)法的基數(shù).

為了與其他進位制相區(qū)別，常常將基數(shù)2寫在右下角，如10102，十進制的基數(shù)10一般不寫.二進制數(shù)化為十進制數(shù)比較容易，如把10102化為十進制數(shù)，只要把1×23+0×22+1×21+0算一下就可以了，10102=8+2=10.那么，如何把十進制數(shù)轉化為二進制數(shù)呢？

可以逆向思考，先把十進制數(shù)化為a0×2n+a1×2n - 1+…+an - 1×21+an的形式，再寫出這個二進制數(shù).例如，我們來看一道中考題.

題目：計算機采用的是二進制數(shù)，它共有兩個數(shù)碼0、1.將一個十進制數(shù)轉化為二進制數(shù)，只需把該數(shù)寫成若干個2n數(shù)的和，依次寫出1或0即可，如19=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=100112，它是二進制下的5位數(shù)，則十進制數(shù)2 004是二進制下的（）.

A． 10位數(shù)B． 11位數(shù)

C． 12位數(shù)D． 13位數(shù)

這道題首先舉例說明了十進制數(shù)轉化為二進制數(shù)的方法，然后讓我們加以應用.考慮不大于2 004且最接近于2 004的2的乘方是210，所以它是二進制下的11位數(shù)，應選B.

下面我們把1~15之間的整數(shù)都轉化為二進制數(shù)，如表1（不足4位的，在前面補0）.

我們再來看看前面的圖中的數(shù)字.凡是轉化成二進制數(shù)以后，首位為1的，都記入圖1（1）中；第二位為1的，都記入圖1（2）中；第三位為1的，都記入圖1（3）中；末位為1的，都記入圖1（4）中.當王浩同學說在（1）（2）（3）中都有，在（4）中沒有時，就對應著二進制數(shù)1110，化為十進制，就是1×23+1×22+1×21+0=8+4+2+0=14，也相當于陳亮所說的把顯示所想數(shù)字的圖中的第一個數(shù)字相加.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文