妙用勾股定理證題

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，把形的特征（一個(gè)角是直角）轉(zhuǎn)化成數(shù)的關(guān)系（三邊之間滿足c2=a2+b2），使數(shù)與形聯(lián)系了起來.在證題時(shí)，構(gòu)造直角三角形并運(yùn)用勾股定理，可使問題化難為易.有時(shí)，這種用代數(shù)方法解幾何題的思路，要比純幾何的解法更容易把握.

例1如圖1，AM是Rt△ABC的中線，∠C=90°，MN⊥AB于N.求證：AN2-BN2=AC2.

證明：在Rt△AMN中，由勾股定理得AN2=AM2-MN2.在Rt△BMN中，由勾股定理得BN2=BM2-MN2.

∴AN2-BN2=AM2-BM2.

又因AM是中線，MC=MB，故AM2-BM2=AM2-MC2=AC2.故AN2-BN2=AC2.

例2如圖2，Rt△ABC中，∠BAC=90°.AD⊥BC于D.求證：AB2=BD·BC.

證明：BD·BC=BD（BD+CD）=BD2+BD·CD=BD2+[（BD+CD）2-BD2-CD2]=BD2+（BC2-BD2-CD2）=（BD2+BC2-CD2）=[BD2+BC2-（AC2-AD2）]=（BC2-AC2+BD2+AD2）=AB2.

總結(jié)：對于求證式是一些線段平方關(guān)系的幾何題，可以借助勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化和變形.例2中將乘積BD·CD轉(zhuǎn)化為“和”的形式，是重要的變形.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。