物理學(xué)中“面積”之妙用

摘要：教材內(nèi)容雖然是有一定結(jié)論的知識(shí)，但在解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)靈活、多角度地應(yīng)用這些知識(shí)，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：物理情景；“面積”；圖像意義

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2008)4(S)-0021-2

在物理知識(shí)的認(rèn)知、掌握上，對(duì)于物理某個(gè)過程變化、規(guī)律的描述，人們常常采用數(shù)學(xué)和圖像兩種方法表達(dá)。應(yīng)用方法圖像時(shí)，在明確其物理意義的前提下，若用物理圖線與坐標(biāo)軸圍成的“面積”來分析解決物理問題，不但形象直觀，而且可以化難為易，出奇制勝，提高學(xué)習(xí)效率，物理意義上的“面積”更顯示出其優(yōu)越性。下面僅舉幾個(gè)例子加以說明。

例1 做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在各個(gè)連續(xù)相等的時(shí)間T內(nèi)的位移分別是s1、s2、s3…。

試證明：Δs=s2-s1=s3-s2=…

=sn-sn-1=at2。

證明：如圖1所示，作物體的v-t圖像，兩個(gè)連續(xù)相等時(shí)間T內(nèi)位移之差為圖中畫有斜線的矩形面積，其數(shù)值為Δs=T×Ttanα=aT2。

此題用圖像證明上述結(jié)論同樣適用初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)及勻減速直線運(yùn)動(dòng)。

例2 物體從A到B作勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在中間位置的速度為v1，它在中間時(shí)刻的速度為v2，則（ ）

A.在作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1>v2。

B.在作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1

C.在作勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1>v2。

D.在作勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，v1

解析 先作出勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像，如圖2所示。橫坐標(biāo)t的中點(diǎn)t2的速度即中間時(shí)刻的速度v2，而中間位置則要求二個(gè)梯形面積必須相等，故物體在中間位置的時(shí)刻在圖2(a)中應(yīng)在t2的右側(cè)，在圖2（b）中應(yīng)在t2的左側(cè)，其對(duì)應(yīng)速度為v1。從圖上很直觀地看出無論是勻加速還是勻減速，均有v1>v2。故應(yīng)選A、C。



例3 兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停止時(shí)，后車以前車剎車時(shí)的加速度開始剎車。若前車在剎車過程中行駛距離為s，在上述過程中要使兩車不相撞，則兩車在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，保持的距離至少應(yīng)為（ ）

A.s。B.2s。

C.3s。D.4s。

解析 前車剎車后，兩車運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖3所示，要使兩車不相撞，則兩車勻速行駛時(shí)保持的距離應(yīng)不小于前車剎車后兩車的位移之差，即圖中陰影部分的“面積”，該“面積”很顯然為前車位移s的兩倍，故應(yīng)選B。

例4 如圖4（a）所示，一質(zhì)量為M，長(zhǎng)為l的長(zhǎng)方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m

解析 （1）由系統(tǒng)動(dòng)量守恒得：

Mv0-mv0=(M+m)v，

v=(M-m)(M+m)v0。①

因M>m，可知v的方向水平向右。

（2）A、B運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖4（b）所示，當(dāng)A到達(dá)B的左端時(shí)，A相對(duì)B運(yùn)動(dòng)的距離為△abc的“面積”，

即l=12(2v0)t=v0t。②

當(dāng)A向左運(yùn)動(dòng)對(duì)地速度為零時(shí)，到達(dá)最遠(yuǎn)處，且離出發(fā)點(diǎn)的距離s對(duì)應(yīng)△aod的面積，即：

s=12v0t1。③

由圖可知△aod∽△aec，

則t1t=v0v0+v。④

聯(lián)立以上各式解得：s=M+m4Ml。

例5 從地面上以速度v1豎直向上拋出一皮球，皮球落地時(shí)速度為v2，若皮球運(yùn)動(dòng)過程中所受空氣阻力的大小與其速率成正比，試求皮球從開始上升到落地的整個(gè)過程中所經(jīng)歷的時(shí)間。

解析 此類問題為變力問題，由于空氣的阻力f與皮球的速率成正比，故v-t圖像與f-t圖像類似，如圖5所示，由于皮球在上升和下落過程中所經(jīng)達(dá)的位移大小相等，則v-t圖像中兩部分陰影面積（位移大小）相等。而f-t圖像中兩部分陰影的面積分別表示上升過程和下降過程中空氣阻力對(duì)球的沖量，故這兩個(gè)沖量值大小也相等，方向相反，則在球的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，空氣阻力對(duì)皮球的總沖量為零。因此，根據(jù)動(dòng)量定理，以皮球?yàn)檠芯繉?duì)象，以t為運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，對(duì)于整個(gè)過程而言，對(duì)皮球的總的力的沖量作用中，阻力的沖量為零，重力的沖量不為零，則

mgt=mv2-(-mv1)，

t=(v1+v2)/g。

參考文獻(xiàn)

人民教育出版社.全日制普通高級(jí)中學(xué)物理（必修）第一冊(cè).2001

(欄目編輯黃懋恩)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。