解析一組帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動習題

摘要：幾何知識在處理勻強磁場中帶電粒子的圓周運動問題中起著非常重要的作用。本文就此從具體例子入手，從中總結一下解決此類問題的一般方法。

關鍵詞：勻強磁場；圓周運動

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2008)4(S)-0044-2

物理習題千變萬化的情境和問題設計成就了異彩紛呈的解題方法和技巧，其中物理規律與幾何知識“聯手”求解的方式，在處理帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題中頻繁出現。同時，此類問題也是高中物理習題教學內容中不可或缺的重要組成部分。

例1 （2007年全國高考理綜卷25題）兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內分別取垂直于兩屏交線的直線x軸和y軸，交點O為原點，如圖1所示。在y>0，o0，x＞a的區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區域內的磁感應強度大小均為B。在O點處有一小孔，一束質量為m、帶電量為q（q＞0）的粒子沿x軸經小孔射入磁場，最后打在豎直或水平熒光屏上，使熒光屏發亮。入射粒子的速度可取從接近于0到某一最大值之間的各種數值。已知速度最大的粒子在0a的區域中運動的時間之比為2：5，在磁場中運動的總時間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應強度為B的勻強磁場中做圓周運動的周期。不計粒子的重力，試求兩個熒光屏上亮線的范圍。

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析與解 速度小的粒子將在0

（1）如果讓沿環狀勻強磁場的內、外邊界的半徑方向射入場區的所有粒子都不能穿越磁場，則具有這樣的運動方向的粒子的最大速度是多少？

（2）沿磁場內邊界的切線方向射入場區的粒子中，有的能夠穿越場區，有的不能穿越場區，求這種情況下不能穿越場區的粒子中具有的最大速度是多少？

（3）若要求沿各個方向射入場區的所有粒子都不能穿越磁場，則粒子的最大速度是多少？

（2）設沿磁場內邊緣切線方向射入磁場的所有粒子中，不能穿越磁場的最大軌道半徑為r2，對應的最大速度為v2。則具有這一最大速度的粒子在磁場中的軌跡與環狀磁場的內、外邊界相切，其在磁場中的一段軌跡如圖4中的以O2為圓心的實線圓弧所示。

析與解 如圖6所示，先作出沿y軸正方向射入磁場的電子的軌跡（實線圓弧OA），其軌跡圓心為O1，A點為射出磁場的位置；再作出沿其它任意兩個不同方向入射的電子軌跡（實線圓弧OC、OD），軌跡圓心分別為O2、O3，射出磁場的位置分別為C、D。連接O1A，O2C，O2O，O3D，O3O，則這些線段相等，為電子的軌道半徑r，且線 段O1A、O2C、O3D均為豎直線。由于O1、O2、O3、F是在以O點圓心的四分之一圓上，所以A、C、D、O應 處于以G點為圓心的四分之一圓上，如圖中兩段虛線圓弧所示。于是，實線圓弧OA和虛線圓弧ODCA所圍區域的面積即為所求。

通過對上述關于有界勻強磁場的極值總的解析，不難得出此類問題的簡約解題方略。

（1）作圖是解決問題的關鍵所在。作圖通常要從特殊之處著手，如做出進、出磁場的位置間的軌跡或對應臨界情況的軌跡。作圖要正確、有效、清晰、簡明，以利于觀察和求解。

（2）觀察幾何圖形，挖掘出必要的幾何關系，再運用物理規律，即可達到正確求解的目的。

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。