對“ｇＲ”的理解和應用

在高中物理中，很多地方都會遇到“gR”這個比較隱蔽的條件。那么在不同的物理情景中，它有著怎樣的物理含義，又是如何推導出來，而我們怎樣應當靈活應用呢？本文將從以下四個方面對這方面問題進行淺析。

1 過山車軌道中的“gR”

在沒有支撐的情況下，小球在豎直平面內做圓周運動，如果要做一個完整的圓周運動，過最高點的速度v要滿足一個條件，即vgR。無支撐的模型主要有兩種：一種是一根輕繩一端系小球，另一端固定，讓小球在豎直平面內做圓周運動；另外一種是過山車軌道的模型。那么vgR這個比較隱蔽的條件是如何推導得出的呢？下面以過山車軌道模型為例。

例1 物體的質量為m，沿光滑的彎曲軌道滑下，軌道的形狀如圖1所示，與彎曲軌道相接的光滑圓軌道的半徑為R，要使物體沿光滑圓軌道能通過最高點，物體至少應從離軌道最低點多高的地方由靜止開始滑下?



物體在整個運動過程中由于只有重力做功，因此物體的機械能守恒，同時物體在圓軌道中運動時還要遵守圓周運動的規律。如圖2所示，假設把物體從與圓心等高的A1點處由靜止釋放，根據機械能守恒可知，物體到達B1點的速度為零，之后物體在A1CB1之間做往返運動。假設把物體從與圓軌道最高點D等高的A2點處由靜止釋放，物體能夠到達圓軌道的最高點D嗎？

物體通過B1向D運動的過程要遵守圓周運動的規律。分析物體的受力情況和運動狀態，如圖3所示，軌道對物體的壓力N與物體重力沿半徑方向的分力mgcosθ的合力提供向心力，由牛頓第二定律有：

N+mgcosθ=mv2R，

解得N=mv2R-mgcosθ。

當物體從B1向D運動的過程中，由機械能守恒可知物體的速度v在不斷地減小，θ角也在不斷地減小，根據上式得軌道對物體的壓力N在不斷減小，當N＝0時，物體即將脫離圓軌道，此時物體的速度還沒有為零，方向沿圓軌道切線向上，之后物體只受到重力作用，物體將在 B1D之間的某處B2做斜拋運動，將不能到達圓軌道最高點D，如圖4所示。



假設物體從更高一點的位置A3由靜止釋放，如果沒有通過D點，物體將在更接近D點的位置B3處脫離圓軌道斜拋；從更高的位置A4靜止釋放物體，如果沒有通過D點，斜拋的位置將越接近D點，依次類推，只要高度滿足一定的條件（也是過最高點D的速度滿足一定的條件），物體就可以恰好通過圓軌道的最高點D。

物體恰好通過最高點D，意味著物體對軌道最高點的壓力恰好是零。分析物體在最高點的受力情況和運動狀態，如圖5所示，重力恰好提供向心力：

mg=mv2DR，

解得：vD=gR。



所以過最高點時的速度條件是：

在最高點的速度大于或等于gR。

當然由機械能守恒定律列方程

mgh=12mv2D+mg·2R，

解得h=2.5R。

2 汽車安全地通過圓形拱橋中的“gR”

圓形拱橋的半徑為R，汽車質量為m。現在汽車要勻速率安全通過圓形拱橋，汽車在圓形拱橋最高點處的速率v應滿足什么條件呢？

顯然汽車在通過圓形拱橋時，受到了圓形拱橋的支撐。在最高點汽車的受力情況和運動狀態如圖6所示。由牛頓第二定律有：mg-N=mv2R，解得N=mg-mv2R。當 汽車的速率v越大，則拱橋對汽車的支持力N越小。當N恰好為零時，即重力恰好提供向心力，得v=gR。此時汽車有一水平速度，又只受到重力作用，之后將做平拋運動，將不再沿圓軌道運動，這是很危險的。所以汽車過圓形拱橋時，最高點的速度應小于gR。當然如果拱橋不是圓形的，gR中的R應該理解為最高點處的曲率半徑。

下面是這種模型在實際解題具體應用。

例2 光滑圓柱固定在水平桌面上，質量為m1的小球用輕繩與質量為m2的小球相連并跨過圓柱，開始時用手托住m2，使m1靜止在桌面上，如圖7所示，兩邊繩都豎直，放手后，m1上升，當m1上升到最高點時，繩子突然斷了，這時m1恰能做平拋運動，求：m2m1。



放手后，繩斷前，m1先豎直向上做加速直線運動，再繞光滑圓柱的表面做圓周運動。因為圓柱表面光滑，空氣阻力不計，m1和m2組成的系統只存在動能和勢能的相互轉化，所以m1和m2組成的系統機械能守恒。當m1運動到圓柱最高點時，繩斷后，m1恰好可以做平拋運動，這說明繩斷后瞬間m1只受到重力作用，對光滑圓柱體最高點的壓力恰好是零，受力如圖8所示。在繩斷前瞬間，m1沿法線方向的受力情況也是如此（沿切線方向受繩的拉力），但是m1在做圓周運動，重力恰好提供向心力：m1g=m1v21R，解得v1=gR。由此挖掘出了題目當中的隱含條件。又知繩斷前瞬間m2的速度v2等于m1的速度v1，如圖9，再根據m1和m2組成的系統機械能守恒，列出方程：m2g(R+2πR4)=12m1v21+12m2v22+m1g·2R，解得m2m1=51+π。

3 人造衛星的“gR”

地球的半徑為R，人造衛星的質量為m，貼著地球表面運行，求衛星的繞行速度v。

地球對衛星的萬有引力提供衛星做圓周運動所需的向心力：GMmr2=mv2r，解得v=GMr。由此可知衛星貼著地球表面繞行時的速度是最大的繞行速度。由于此時的軌道是最低的軌道，發射衛星時克服引力做的功最少，所需的發射速度是最小的，即第一宇宙速度。如果取地球表面為零勢能面，顯然衛星最大的環繞速度等于衛星的最小發射速度（第一宇宙速度）。

由于衛星貼著地球表面繞行，軌道半徑r約等于地球半徑R，衛星所受的引力約等于衛星在地球表面受到的重力mg，由此可得：

GMmr2=mg=mv2R，

解得v=gR。

因此在這種物理情景下，v=gR的物理含義是衛星最大的環繞速度，也是衛星最小的發射速度（第一宇宙速度）。

對其它星球也有類似的規律，只是gR中的g和R分別表示該星球表面的重力加速度和該星球的半徑。

4 復合場（電場、重力場）中的“gR”

例3 在豎直平面內有水平向右，場強為E＝ N/C的勻強電場，在勻強電場中有一根長R＝2m的絕緣細線，一端固定在O點，另一端系一質量m＝0.4kg的帶電小球，它靜止時與豎直方向成37°角，如圖11所示，如取小球在靜止位置時為電勢能和重力勢能的零勢能點．若小球恰能繞O點在豎直平面內做圓周運動．求：（1）小球帶電量q。（2）小球動能最小值。（3）小球機械能的最小值。



小球在豎直平面內做圓周運動的過程中受到三個力的作用：重力、電場力和繩對小球的拉力，如圖12所示。由于重力和電場力是恒力，其合力F也是恒力，因此可將小球的受力情況等效為受兩個力作用：拉力T和F，其中F可認為是小球在復合場中的“等效重力”，如圖13所示。假設有一個人站在傾角為37°斜面上看小球的運動，會發現這與繩系小球在豎直面內做圓周運動完全類似，此時的“等效最低點”是A點，“等效最高點”是A關于O對稱的A′點。因此題中“小球恰能繞O點在豎直平面內做圓周運動”這句話說明：在“等效最高點”處“等效重力F”恰好提供向心力。由牛頓第二定律得：F=mv2R ，解得v=(Fm)R。如果將Fm看成小球在復合場中的“等效重力加速度”g′，則v=g′R。



由此可見，小球在無支撐的情況下，在復合場中做豎直平面內的圓周運動，在“等效最高點”處的速度仍然要滿足條件：vg′R。只是g′應該理解為小球在復合場中的“等效重力加速度”。

在題目中的隱含條件v=(Fm)R被挖掘出來后，本例可以說是迎刃而解。

對第1問：qE=mgtan37°，

解得q=mgtan37°E=3×10-4C。

對第2問：重力和電場力的合力即為“等效重力”F=（mg）2+(qE)2=54mg。圓運動的“等效最高點”的速度最小應滿足F=mv2R，則最小動能EK=12mg2=5J。

對第3問：根據能量守恒可知，小球做圓周運動過程中機械能和電勢能之和保持不變．當電勢能最大時，機械能最小，在跟O等高的圓周左側點電勢能最大。所以從“等效最高點”到“電勢能最大點”的過程中，以題中規定零勢能點列能量守恒方程為：

12mv2+mg·2Rcos37°+qE·2Rsin37°

=qE(R+Rsin37°)+E機

解得小球的機械能最小值為E機=15.4J。

通過以上的實例分析，可以看到“gR”在不同的物理情景中，其含義有很大的不同，我們在應用過程中切不可生搬硬套，還得仔細分析，正確使用。

（欄目編輯羅琬華）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。