最值問題的學用解法

許欽彪

最值問題是中學數學中一類重要的問題，常涉及函數、三角形、不等式、解析幾何、立體幾何、向量、導數等內容，同學們在整個高中數學的學習過程中都會遇到，熟練掌握一次函數、二次函數、指(對)數函數及三角函數等初等函數的最值求法，是求復雜函數最值的基礎，最值問題的解法多而靈活，本文僅把常用的方法進行歸納介紹。

一、直接法

某些函數的結構并不復雜，可以通過適當變形，由初等函數的最值及不等式的性質直接觀察得到它的最值。

例1求y=x³＋2/²＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X²＋2/3，故當x=0，時，y_ma

二、反函數法

由原函數反解出x=￡(y)，根據x的范圍求出y的范圍，進而得到y的最值的方法稱為反函數法，此方法適用于能順利求得反函數的函數，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數，類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數，

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數形式”這一類函數的最值問題的基本方法，有著廣泛的應用，

四、換元法

引入新變量對原函數式中的代數式或三角函數進行代換，將所給函數轉化成容易求最值的簡單函數，進而求得最值的方法稱為換元法，形如y=ax+6的函數求最值常用此法，用換元法解題時要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。五、不等式法

通過對原函數式進行變形，利用等基本不等式求函數的最值的方法稱為不等式法，用不等式法求最值時，要注意“一正、二定、三相等”的應用條件，即不等式中的兩項必須都為正，兩項的和一定時積有最大值、積一定時和有最小值，必須能取得到最值，

點評：利用不等式法求最值時，要注意函數取到最值時，相應的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時要考慮用其他方法來解題，點評：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，

七、單調性法

如果能確定函數在某個區間上的單調性，就可以求出該函數的最值，求解函數在給定區間上的最值問題?？稍囉眠@種方法，函數的單調性可以直接用單調性的定義來判別，也可結合函數的圖像來研究，或者用導數法來判定。

點評：看到例11中的函數的形式，很多同學會考慮用換元法來解題，但若用換元法無法將其轉化為一元二次函數的形式，會讓解題過程變得更繁雜，甚至無法順利進行下去，在判斷函數的單調性時，方法的選擇也是很重要的，三種方法各有特點：定義法是最容易想到的，圖像法最直觀，而導數法往往比較簡捷。

八、數形結合法

利用函數表示的幾何意義，借助于幾何方法求出最值的方法稱為數形結合法。