隨機斜浪中船舶參數—強迫激勵橫搖運動計算

1 引 言

1955年,Kerwin首次提出船舶在縱浪中航行,船體交替處于波峰和波谷，船體浸水部分的形狀和體積隨時間變化，使得船舶初穩性高也隨時間變化，是導致縱浪中船舶橫搖運動失穩及傾覆的重要原因[1]。隨后很多學者都對隨機和規則縱浪中船舶的純參數激勵橫搖運動進行了大量研究。但是，對船舶在遭受參數激勵和橫向強迫激勵(以下簡稱為“參—強激勵”)下的動力學特征，研究較少。我們建立并用多尺度法求解了規則參—強聯合激勵的橫搖運動方程[2]。船舶遭受隨機參—強激勵包括了船舶運動的更廣泛的航行背景，然而對此項問題的研究還鮮見報道。本文考慮船舶橫搖恢復力矩的非線性和波浪的隨機性，假設升沉和縱搖準靜力平衡，將隨機參數激勵引入橫搖方程，采用Dunwoody方法推導由波浪引起的隨機初穩性高波動項[3]，得到了參—強激勵橫搖運動的計算方法。考慮不同航速、航向、波高、波長對某漁政船進行了參—強激勵橫搖計算。

2 參—強激勵方程

考慮阻尼力矩和恢復力矩的非線性，以及升沉、縱搖、波浪共同作用產生的參數激勵和強迫激勵項建立的橫搖運動方程如下：

(1)

阻尼力矩取線性加立方阻尼的形式：

(2)

恢復力矩是橫搖、升沉、縱搖、波面升高及時間的函數：

(3)

式中，回復力臂可以用下式表示：

(4)

3 隨機斜浪中船舶橫搖干擾力矩和初穩性高的計算

將隨機波表示為一系列簡諧波的疊加，干擾力矩公式為[4]：

(5)

式中，I為考慮了附加質量的橫搖轉動慣性矩；α0為波傾斜系數；ω0為橫搖的固有頻率；hi是分諧波波高；λi是分諧波波長；χ是航向角；ωei是船舶斜浪航行的船波遭遇頻率；εi為在區間(0～2π)內均勻分布的隨機相位角。

船舶斜浪航行過程中，波浪除了對船舶施加以橫搖擾動力矩外，還引起了船舶橫搖初穩性高的變化。船舶左右兩舷的波面差產生了橫搖擾動力矩，本文根據船長x處的平均波面升高來計算初穩性高。隨機斜浪中沿船舶表面的波面升高表達式見式(6)。它不僅同時間t、遭遇頻率ωe、隨船坐標系縱向坐標x有關，還與橫向坐標y有關。船體表面 (x,y)點的波面升高為：

(6)

式中，hi為分諧波波幅；ki為分諧波波數；χ為航向角；χ=0°表示迎浪航行狀態；ωi為分諧波波浪圓頻率；λi為分諧波波長；U為船速。

在船長縱向坐標x處，左右兩舷的波面升高分別為：

cos[ki(xcosχ-ylsinχ)+ωeit]

(7)

cos[ki(xcosχ-yrsinχ)+ωeit]

(8)

因為船舶左右對稱yl=-yr，所以x處的平均波面升高為：

cos(kixcosχ+ωeit)cos(kiylsinχ)

(9)

采用Dunwoody方法得到由波浪引起的隨機初穩性高波動項gm(t)的表達式：

(10)

(11)

(12)

(13)

考慮隨機波浪為一系列簡諧波的疊加，得到波面升高加速度的表達式。

cos(kixcosχ+ωeit)cos(kiylsinχ)

(14)

將式(9)和式(14)代入式(10)，可計算初穩性高波動值，由式(1)可計算橫搖角的響應歷程。

4 參—強激勵算例分析

取隨機波浪特征波長λ=40 m，有義波高h1/3=3 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s；航向30°，首斜浪航行航速7.492 8 m/s，特征遭遇頻率為2.26 rad/s，為橫搖固有頻率的2倍，得到的初穩性高譜、橫搖擾動力矩譜，考慮和不考慮初穩性高變化的隨機橫搖運動結果見圖1～圖6。

圖1 初穩性高譜

圖2 橫搖干擾力矩譜

圖3 橫搖角(考慮初穩性高的變化)

圖4 橫搖角譜(考慮初穩性高的變化)

圖5 橫搖角(不考慮初穩性高的變化)

圖6 橫搖角譜(不考慮初穩性高的變化)

取隨機波浪特征波長λ=40 m，有義波高h1/3=3 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s;航向30°，航速U分別取1 m/s, 2 m/s,……,12 m/s。按照上述方法計算得到的穩定橫搖的最大幅值的變化如圖7所示。在圖7～圖10中，“*”表示考慮參數激勵及波浪外激勵的影響計算得到的最大橫搖角，“△”表示不考慮參數激勵的影響，僅計入波浪外激勵得到的結果。

取隨機波浪特征的波長λ=40 m，有義波高h1/3=3 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s，保持遭遇特征頻率為橫搖固有頻率的2倍；航向角分別取0°, 5°,……, 60°。按照上述方法計算得到的穩定橫搖的最大幅值的變化如圖8所示。因為波浪擾動力矩的頻率遠離橫搖外激勵共振區域，所以波浪擾動力矩對橫搖的影響不大，而參數激勵特征頻率為橫搖固有頻率的2倍，位于主參數共振區域，對橫搖影響很大。

圖7 最大橫搖角隨航速的變化

圖8 最大橫搖角隨航向的變化

圖9 最大橫搖角隨波長的變化

圖10 最大橫搖角隨波高的變化

取隨機波浪有義波高h1/3=3 m，保持遭遇特征頻率為橫搖固有頻率的2倍；波長分別取20 m, 30 m,……, 100 m。按照上述方法計算得到的穩定橫搖的最大幅值變化如圖9所示。由此可見，在λ/cosχ與船長相差不大時，參數激勵對橫搖的影響較明顯。而對于外激勵而言，波陡越大，橫搖擾動力越大，相應的橫搖幅值就越大。

取隨機波浪特征波長λ=40 m，波浪的特征頻率為1.24 rad/s，特征周期為5.1 s，航向30°，保持遭遇特征頻率為橫搖固有頻率的2倍；有義波高分別取為h1/3=1 m,1.25 m,……，4 m。按照上述方法計算得到的穩定橫搖的最大幅值的變

化見圖10。從圖10中可見，參數激勵和外激勵引起的橫搖運動都隨著波高的增大而增大，只有當波高超過某一閾值時，參數激勵橫搖才可能被激起。

5 結束語

經過上述計算得到的分析結論如下：

1) 對于隨機斜浪中的參—強激勵橫搖運動，當特征遭遇頻率一定時，最大穩定橫搖幅值隨波高的增大而增大，隨航向角的增大而減小。

2) 對于隨機斜浪中的參—強激勵橫搖運動，當特征遭遇頻率為船舶橫搖固有頻率的2倍時，因為波浪擾動力矩譜能量是在橫搖固有頻率的2倍附近，遠離共振區域，所以它對橫搖的影響非常小，而因為參數激勵譜能量集中在主參數共振頻率(即2倍橫搖固有頻率)附近，所以它對橫搖起決定性作用。

3) 對于不規則波中的橫搖，由算例結果可見，在航向角和不規則波的特征波長、有義波高、特征頻率確定的時候，隨著遭遇頻率由2倍橫搖固有頻率向1倍橫搖固有頻率變化，參數激勵對船舶的影響逐漸減小，而波浪擾動力矩對船舶橫搖的影響逐漸增大。在計算斜浪中變航速的橫搖響應時，兩者都要考慮。

[1] KERWIN J E.Notes on rolling in longitudinal waves[J].International Shipbuilding Progress，1955，2(16)：597-614.

[2] 唐友剛，林維學，董艷秋.船舶參數激勵和強迫激勵作用下的非線性運動響應[J].中國造船，2001，42(6)：34-39.

[3] DUNWOODY A B. Roll of a ship in astern seas-metacentric height spectra[J]. Journal of Ship Research, 1989, 33(3):221-228.

[4] Intact Stability Criteria for Passenger and Cargo Ship[S], IMO, 1987.

[5] Jianbo Hua.A study of the parametrically excited roll motion of a RoRo-ship in following and heading waves[J].International Shipbuilding Progress，1992，39(420)：345-366.