流體中彈性板聲輻射阻尼研究

1 引 言

結構振動聲輻射是航空航天、艦船等國防領域的重要研究課題[1]。現代艦船多是由鋼質加筋結構組合成的復雜結構[2],船上各種動力設備在艦船航行時,不可避免地發生振動和噪聲。噪聲通過艦船結構傳遞的現象常稱作“結構噪聲”。結構噪聲輻射到空氣中轉化為空氣噪聲；輻射到水中就形成水下噪聲[3]。這些噪聲不僅使艦船適居性變壞，而且還影響艦船的隱蔽性。

阻尼是振動系統主要特征，對結構的振動與聲輻射有重要的影響。很多學者試圖通過對阻尼的研究與探索來改良工程中的振動與噪聲問題。徐雪英[4]介紹了振動阻尼機理、阻尼結構以及阻尼應用設計，對振動阻尼技術及其應用作了較為詳細的論述。許士桐研究了艦船阻尼措施以及結構中阻尼處理的特點，概述阻尼技術在國內外艦船上的應用。伏同先探討了阻尼技術以及在艦船減振降噪中的應用。

早期的聲輻射主要是從板架結構在超音速與亞音速流動環境中發展起來的。Muhlstein[5]對超音速流動中面板聲輻射阻尼提出了實驗測量方法。Lyle和Dowell[6-7]對亞音速流動中矩形板的聲輻射阻尼與結構阻尼進行了比較研究。隨后聲輻射阻尼研究擴展到無流動狀態下，Wallace[8]給出了有限形狀矩形板模型的聲輻射阻尼，并研究了激勵頻率在低于、高于和等于板的臨界頻率等不同條件下的聲輻射阻尼情況。Kriegsmann和Scandrett[9]從結構與聲耦合的角度對聲輻射阻尼進行了估算。板式結構聲輻射阻尼在國內的研究還比較少，郭新毅[10,11]對含損傷結構振動的聲輻射阻尼問題進行了探討。

針對無限障板中彈性板，本文從能量角度，定義聲輻射阻尼為振動一周內系統以聲波輻射的形式,耗散能量與系統總能量之比值，并推導出聲輻射阻尼的計算表達式。首先，計算在流體中彈性板流固耦合面上的法向振動響應，基于Reyleigh積分關系得到相應的輻射面的聲壓，繼而依據本文提出的方法對聲輻射阻尼進行了數值模擬，比較了空氣中與水中彈性板的聲輻射阻尼、不同板厚以及不同板邊長尺寸下，彈性板聲輻射阻尼隨頻率變化情況。

2 結構聲系統的有限元/邊界元分析

2.1 聲振耦合的FEM/BEM方法

彈性結構在流體介質中受激振力作用引起的聲輻射，為彈性體與流體耦合的問題。在結構振動方程中，除了結構所受的已知載荷外，還需要考慮聲場對結構的作用力，從而形成一個耦合方程[12]。對于結構振動與聲場耦合的數值求解方法，存在有限元法(FEM)[13]、邊界元法(BEM)以及有限元與邊界元結合的方法(FEM/BEM)[14，15]。本文結構采用有限元法近似，聲場采用邊界元法近似。

首先，利用有限元法建立結構的自由振動方程，同時利用邊界元法得到流體對結構表面的作用力，將兩者組合即建立了結構流體耦合方程。通過對耦合方程的求解，即可得到結構表面振速，進而根據Reyleigh積分關系利用邊界元法得到聲壓以及其它聲輻射特性。

考慮小振幅聲波，進行線性化處理后，根據運動方程、連續性方程和物態方程，三維聲場波動Helmholtz方程為：

2P+k2P=0

(1)

式中，P為介質中聲壓力；k為波數，k=ω/c；ω為聲波頻率；c為介質中聲速。

流固交界面上邊界條件滿足：

(2)

考慮理想流體介質，其Helmholtz波動方程可以轉化為Rayleigh積分形式：

(3)

由式(3)可得流體動壓力為：

(4)

對流固耦合交界面進行離散，將流體面力轉換到節點上的節點力，有：

(5)

再將式(5)代入結構振動方程：

(6)

可以得到流體固體耦合運動方程[16]：

(7)

式中，[MA(ω)]為流體附加質量矩陣：

式中，[A]為流固交界面面積對角矩陣。

對耦合方程式(7)進行求解，得到結構表面振速，利用邊界數值積分得到聲壓以及其他聲輻射特性。

2.2 結構與流體數值模擬單元

在耦合系統數值模擬中，本文結構采用4節點四邊形板殼單元，每個節點考慮5個自由度(u,v,w,θx,θy)，單元坐標和節點編號如圖1所示。

圖1 單元坐標及節點編號圖

根據Mindlin假設的板一階剪切理論，采用雙線性Lagrange插值。板內任意點的位移場和等參單元插值函數可分別表示為：

(8)

(9)

式中，u0、v0和w0分別表示所在板中面X、Y和Z軸方向位移；θx和θy分別表示所在板中面繞X和Y軸方向轉角。

在利用式(3)計算流固耦合邊界流體動壓力時，需要對整個流場進行數值模擬，經過變換處理，使用邊界元法可以使積分空間降低一維，由三維轉換為二維。在進行流固耦合邊界劃分時，也采用4節點四邊形單元。利用式(4)可以進行流固耦合交界面的數值模擬。

采用邊界元方法,在利用式(4)計算結構表面聲壓時，式(4)中含有格林函數：

(10)

式中，r為場點S與源點Q之間的距離。

進行流體數值模擬時，為了和交界面上結構離散相一致，流體單元也是采用4節點二維線性單元。在單元循環計算的過程中，當場點S與源點Q重合時，即r=0處，積分存在奇異性，本文所采用的是蛻化單元法處理的奇異單元。近場和遠場采用不同的積分階數，保證計算精度的同時減少計算量。

3 聲輻射阻尼

3.1 結構振動阻尼

結構振動特性受影響于結構的質量、剛度及阻尼。系統振動過程就是顯現為系統動能與勢能的連續不斷轉化，在轉化過程中，部分能量以熱能或其他形式耗散掉。動能含量與慣性有關，勢能含量與剛度有關，而耗散能的大小取決于阻尼。所謂結構阻尼就是結構系統發生振動時，以熱能方式耗散機械能的屬性。阻尼描述方法常見的包括：

1) 阻尼的對數衰減率法，即自由振動系統中，采用對數衰減率，第n次波振幅Xn對第n+1次波振幅Xn+1比值的對數，作為結構阻尼值的一種度量；

2) 頻響函數中阻尼描述方法也叫半功率法，適于描述受迫粘性阻尼系統或滯遲阻尼系統的阻尼；

3) 振動系統能量與耗散能量的阻尼表示方法，采用阻尼因子，即結構在振動一個周期中，能量的損耗與系統總能量之比，來衡量阻尼的大小與振動能損耗的多少[17]。

3.2 聲輻射阻尼

當結構發生振動時，結構會對周圍的流體介質進行壓縮產生聲波，聲波通過流體介質向遠場輻射，即形成了聲輻射。與此同時，結構的一部分能量可以聲能的形式傳遞到遠場，這樣結構的振動能量就發生了耗散現象，聲輻射阻尼就產生了。聲輻射阻尼往往大于結構振動阻尼。

結構的振動響應總是與它周圍的流動介質有關。這些介質會改變結構的響應特性，在一定情況下，這個改變是值得考慮的，它能導致噪聲向流體介質輻射，有時也會使結構的固有頻率和振型產生明顯的變化。

本文采用能量法，將聲輻射阻尼定義為振動一周內系統以聲波輻射的形式耗散的能量與結構振動能量的比值。

3.3 聲輻射阻尼的數學描述

按照本文上節對聲輻射阻尼的定義，聲輻射阻尼可以寫為：

(11)

式中，ER為周期內輻射能量；ES為周期內結構最大動能；W為輻射聲功率；T為結構振動周期；ω為結構振動源頻率。

將振動的彈性板表面分割成有限個振動面元，面元的最大幾何尺寸應遠小于聲波波長，若每個振動面元可以看成獨立聲源的假設成立，根據線性疊加原理，設第i個面元上的復聲壓和復振速分別為pi和vi，則第i個面元的凈輻射聲功率為：

(12)

式中，ΔSi為第i個面元的面積。

將彈性板剖分成N個面元，如果每個面元是均勻的，且聲壓和法向振速組成的N階列矢量分別為P和V，則板總的聲功率為：

W=(ΔS/2)Re(VHP)

(13)

式(13)中上角標H表示對矢量實行共軛轉置。聲壓和結構表面振速存在如下關系：

P=ZV

(14)

式中，Z為N×N階傳輸阻抗矩陣。

對于無限大障板上的矩形平板，傳輸阻抗矩陣的第(i,j)元素為第j個面元上的聲壓比上第i個面元上的法向振速為：

zij=(jωρ0ΔS/2πrij)e-jkrij

(15)

整理之后有：

W=(ΔS/2)Re(VHZV)=VHRV

(16)

式中，R=(ΔS/2)Re(Z)。

這種計算聲功率的方法表達式簡潔，適合用于數值計算，而且便于求解不規則結構振動聲輻射功率。本文的算例就是依據這種方法來計算結構的輻射聲功率，結構振動最大動能可由下式計算得到：

(17)

式中，ρS為板結構密度；h為板厚；ui為i單元形心處振動速度。

將式(16)與式(17)代入式(11)，即可得到聲輻射阻尼的計算表達式：

(18)

4 聲輻射阻尼數值算例

根據上述結構和流體的物理模型，編制了相應的計算機程序，并且對典型算例進行了聲輻射阻尼數值分析。

取一嵌于無限障板中的四邊簡支彈性板，分別考慮空氣和水介質的影響。彈性板長度為0.8 m，板寬度為0.6 m，板厚度為4 mm，結構的材料密度為7 850 kg/m3，結構材料的彈性模量為210 GPa，泊松比0.3；水密度取1 000 kg/m3，水中聲速為1 500 m/s；空氣密度取1.29 kg/m3，空氣中聲速340 m/s。結構有限元單元和流體邊界單元取同樣的網格，如圖2所示，分別對板處在半無限輕流體與重流體環境中的聲輻射阻尼進行計算。

圖2 彈性板有限元劃分網格圖

4.1 輕流體/重流體中板聲輻射阻尼比較

彈性板分別處于輕流體與重流體中，選取激勵大小為1 N，方向為垂直板面方向，作用位置為板的形心(0.4,0.3)處。通過對例板進行聲輻射阻尼計算，得出重流體與輕流體中彈性板聲輻射阻尼隨頻率變化,如圖3所示。

圖3 水中與空氣中彈性板聲輻射阻尼曲線

通過上圖可以看出，隨著激勵頻率的逐漸增大，板在水中與空氣中振動的聲輻射阻尼均為先增大然后趨于平穩。在外界激勵相同的情況下，板在水中振動的聲輻射阻尼遠大于板在空氣中振動的聲輻射阻尼大小，這說明在相同激勵作用下，彈性板在水中振動時的能量耗散能力遠強于板在空氣中時的能量耗散能力。

4.2 板厚對聲輻射阻尼的影響

為了探討彈性板板厚對聲輻射阻尼的影響，本文選取與上節相同的激勵，在板的其他參數不變的前提下，取板厚為3 mm、4 mm與5 mm，分別計算得出水中與空氣中不同板厚下板的聲輻射阻尼結果如圖4與圖5所示。

圖4 空氣中不同板厚下板的聲輻射阻尼曲線

圖5 水中不同板厚下板的聲輻射阻尼曲線

通過圖4與圖5對空氣中與水中彈性薄板在取不同厚度時的聲輻射阻尼曲線的比較看出，在激勵頻率較小時，板厚對聲輻射阻尼幾乎沒有影響；當激勵頻率較大時，板的聲輻射阻尼隨板厚的不同而稍有差異。總的來說，相同尺寸的彈性薄板的板厚對相應聲輻射阻尼幾乎沒有影響。

4.3 板的尺寸對聲輻射阻尼的影響

接下來探討彈性板的尺寸對聲輻射阻尼的影響，并選取與上節大小與方向相同的激勵。在取板厚為4 mm，板的其他參數不變的前提下，取相同長寬比的3塊彈性板，1號板長為0.8 m，寬為0.6 m；2號板長為1.2 m，寬為0.9 m；3號板長為1.6 m，寬為1.2 m。激勵位置均為板的形心處，分別計算3塊板在水中和空氣中振動的聲輻射阻尼，得出水中與空氣中不同尺寸板的聲輻射阻尼結果如圖6與圖7所示。

圖7 水中不同尺寸板的聲輻射阻尼曲線

通過圖6與圖7對空氣中與水中彈性板在取不同尺寸時的聲輻射阻尼曲線的比較看出，其他參數相同的彈性板取不同尺寸時，對相應聲輻射阻尼是不同的。在相同激勵頻率下，彈性板的聲輻射阻尼具有隨板尺寸的增大而增大的變化趨勢。

4.4 激勵位置對聲輻射阻尼的影響

上文討論的均為激勵位置一定時，彈性板不同厚度與不同尺寸時，聲輻射阻尼隨頻率變化的情況。本節探討聲輻射阻尼因激勵位置的變化而改變的規律。選取如圖1所示的彈性板，激勵大小為1 N，方向為垂直板面方向，位置分別選為點(0.1,0.1)、點(0.2,0.2)、點(0.3,0.2)與板的形心(0.4,0.3)處，對相應激勵點下空氣中與水中彈性板的聲輻射阻尼進行計算，得出不同激勵位置情況彈性板聲輻射阻尼比較圖，如圖8與圖9所示。

圖9 水中不同激勵位置時板聲輻射阻尼比較圖

相同的彈性板在激勵位置不同時，其輻射能量不同，同時板結構所具有的最大動能也不同，然而，其兩者相比得到的聲輻射阻尼大小基本相同。通過圖8與圖9對空氣中與水中彈性板在取不同激勵位置時的聲輻射阻尼曲線的比較看出，在激勵頻率較小時，激勵的位置對彈性板的聲輻射阻尼影響甚微；當激勵頻率較大時，不同激勵位置彈性板相應的聲輻射阻尼差異也是很小的。通過上述實踐，說明激勵的位置對彈性板聲輻射阻尼幾乎沒有影響。

5 結 論

本文通過相應算例的計算分析，得出了彈性板聲輻射阻尼隨板的不同厚度、板的不同尺寸以及不同激勵位置的變化規律：

1) 彈性板在水中的聲輻射阻尼遠大于在空氣中的聲輻射阻尼；

2) 相同尺寸的彈性薄板的板厚對相應聲輻射阻尼幾乎沒有影響；

3) 在相同激勵頻率下，彈性板的聲輻射阻尼具有隨板尺寸的增大而增大的變化趨勢；

4) 彈性板的聲輻射阻尼不隨激勵的位置變化而變化。

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