矩陣的等價、相似與合同

初學者常常會對矩陣的相似，等價，合同這三種關系感到迷惑，不能清楚地理解它們之間的聯系和差別，本文首先討論了矩陣這三種關系各自的本質意義；然后分析這三種關系之間的區別和聯系。

矩陣相似，等價，合同的本質意義及充要條件

設是兩個矩陣，那么：

1.矩陣等價

與等價矩陣能夠經過初等變換變成矩陣；

是同型矩陣且秩相等；

存在可逆矩陣，使得

注意，等價與初等變換有關。秩是矩陣等價關系的不變量，兩個同型矩陣等價的本質是秩相等。

2.矩陣合同

(1)與合同矩陣能夠經過合同變換變成矩陣

存在可逆矩陣，使得；

注意，秩相等是矩陣合同的必要條件，兩個同級對稱矩陣合同的本質是秩相等且正慣性指數也相等。

(2)矩陣合同，則它們的秩相等，正慣性指數相等，反之則不一定成立。

(3)合同與二次型有關，同一數域上的二次型與對稱矩陣之間一一對應，因此矩陣合同一般針對的是對稱矩陣。二次型的標準形和有定性（相應對稱矩陣的合同對角陣和有定性）與矩陣合同有密切關系。從有定性角度看，矩陣合同則有定性不變。

3.矩陣相似

(1)與相似矩陣能夠經過相似變換變成矩陣

是同級方陣且它們有相同的不變因子[1]；

存在可逆矩陣，使得

注意：秩相等是矩陣相似的必要條件，兩個同級方陣相似的本質是它們有相同的不變因子。

(2)矩陣相似，則它們的秩相等，跡相等，行列式相等，特征值相等，當然特征多項式也相等；它們還有相同的可逆性，可逆時，它們的逆矩陣也相似。

(3)特別需要注意，兩個同級方陣如果它們可以對角化（例如實對稱矩陣），則它們相似就等價于它們有完全相同的特征值（或特征多項式相等）；否則，同級方陣的特征值完全相同是它們相似的必要而非充分條件。

例：，，盡管有相同的特征值（相同的特征多項式），但由于的線性無關的特征向量只有一個，所以不與對角形矩陣相似。

(4)學習相似的主要目的是研究矩陣的相似對角化問題。特征值和特征向量與矩陣的相似對角化密切相關，可對角化矩陣相似的本質是有相同的特征值。級方陣可對角化的充要條件是有 個線性無關的特征向量。

矩陣等價，合同與相似之間的聯系和差別

(1)等價關系最弱。合同與相似是特殊的等價關系，若兩個矩陣相似或合同，則這兩個矩陣一定等價，反之不成立。相似與合同不能互相推導，但是如果兩個實對稱矩陣是相似的，那肯定是合同的。

(2)等價，合同與相似都具有：反身性，對稱性，傳遞性，因此都是等價關系。

(3)秩是矩陣等價的不變量；不變因子是相似的不變量；特征值是可對角化矩陣相似的不變量；正負慣性指數是對稱矩陣合同的不變量。

(4)對于實對稱矩陣，特征值是相似的不變量，秩和正慣性指數（秩等于非零特征值的數目，正慣性指數等于正特征值的數目）是合同的不變量，因此實對稱矩陣相似則一定合同。注意，一般情況下，相似不一定合同，合同也不一定相似，兩者不能互推。下面是實對稱陣相似則合同的另外一種證明。

證：設都是級實對稱矩陣，若相似，則易知有相同的特征值，不妨設為：。由于都是實對稱矩陣，因此分別存在正交陣使得：（） = ，即與同一個對角矩陣既相似又合同，由相似與合同的傳遞性可知與合同。綜上實對稱矩陣相似則一定合同。

(5)相似不一定都與對角陣相似，因此不能與對角矩陣相似時，并不意味著不能與某一矩陣相似[2]。

(6)等價是經過有限次初等變換 可變為 ；相似矩陣可看作同一線性變化在不同基下的矩陣；合同可通過二次型的非退化線性替換來理解。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。