例談求極限的幾種不常見方法

在科學研究中，數學是重要的基本工具，已經廣泛地滲透到各個學科，是培養各類科技人才的必要基礎。《高等數學》這門課在內容上極其豐富，方法上靈活多樣。在多年的教學實踐中，作者發現，許多學生在學習求極限時感到非常困難，分析其原因在于極限概念不僅抽象，而且計算方法靈活，不易掌握。

因此，要熟練準確地計算各種極限，除了要掌握常見求極限方法如：利用極限的運算法則來求極限、利用兩個重要的極限來求極限、利用等價無窮小代換來求極限等外，了解一些不常見解法，對于進一步學好《高等數學》的其它相關內容是十分必要的。本文提出了極限計算中不常見的七種解題方法，目的是開闊學生的解題思路，從而提高解題能力。

利用先求解微分方程再求極限的方法

說明：此法主要用于已知函數的導數所具有的極限性質，求函數所具有的根限，這種方法的主要內容為：設上有階連續的導數，且 ，求。通常令，解常系數微分方程得。再利用的表達式和 確定極限 。

[例1]已知在[]上有連續的一階導函數，且[]=a，求 。

解：設 = ，解此常微分方程得通解=，其中為任意數。

由已知條件

①當 = 0時，且收斂時，有= 0 =

②當≠0或 = 0但發散時，有 == = 綜上所述， =

利用積分中值定理求極限

說明：求積分式的極限時，如果積分麻煩，或原函數求不出來，可考慮用積分中值定理，其中的趨向由上，下限確定。積分中值定理：如果在[a，b]上連續，在[a，b]上可積且不變號，則存在∈[a，b]，使得：

[例2]求，其中＞0為常數，為自然數。

解：由積分中值定理，在與之間存在，使得 = ，∴ ==0

[例3]求

解：對任意的0＜＜1， =，其中0≤≤1，所以0≤≤，由的任意性，=0

Stolz求極限法

說明：在計算數列形式的，不定型的極限時，可采用下列結果：

Stolz定理：（1）設{}，{}是兩個實數列，第二個數列定向發散于∞并且對充分大的n，它是嚴格單調的，若 存在（有限或無限），則=；

（2）設{}，{}滿足，且{}對充分大的n嚴格單調，則當存在（有限或無限），有=

[例4]已知，求下列各極限值。

（1）;（2）若＞0，求；（3）若≠0，求；（4）；

解：（1） = =；

（2）= exp[ln] = exp[ln]=；

（3） = [] =；

（4） ==

[例5]設＞0， = sin2…，求

解：易見{}是單調遞減且 =0，而

= =

= = = =

所以

Stirling公式法求極限

說明：這種方法是利用stirling公式：，0<<1，求含有n!或者數列的極限。

[例6]求極限

解：根據stirling公式：，（0<<1）。

∵ == （·） = ，

∴ = e= e

[注]與Stirling公式法相應的有Euler公式法：c+ln+，其中c為Euler常數，→0（n→∞）。

[例7]求（）

解：記則且

ln2+

∴ == ln2故 = ln2

冪級數的極限法求極限

說明：此法是利用冪級數在其收斂區間上的逐項可微，可積等性質來求極限。如果冪級數在某區間上收斂，若是該區間的一個內點，則：= ；（）=；dx =dx = ，若是該區間的一個端點，則當冪級數的收斂域包括點時，也有單邊極限。

[例8]求極限

（ +…+）

解令s(x) =，||＜3。則= = ，所以ln，因此= ln

[例9]求極限

解：由于ln，∈[-1，1]。所以 = = ln2。

利用Riemann引理求極限

說明：設在[a，b]上可積，則 = 0，這個結果稱為黎曼（Riemann）引理。

[例10]求極限：

解：由于cos，所以：

==

[例11]求極限：

解：由于 = cos，所以有

=== ，因此，== arln2

利用級數的收斂性質求極限

說明:這是一種應用級數理論中某些結論求極限的方法，主要有：（1）級數收斂的必要條件:如果級數收斂，則 = 0，當數列的極限不易求出，如果把它成某級數的通項(或冪級數)而對此級數的收斂性判別比較容易時，則由級數收斂必要條件得。

（2）數列看作級數的部分和：對于數列{}， = （），，于是求極限問題代為求級數的和。

（3）柯西收斂準則：如果級數收斂，則 = 0

[例12]求極限（…）

解：令 = （…） = n[] = n[] = += ，根據級數的拉貝判別法，當＞1，即＞2時級數收斂，從而，故（…）= 0

[例13]已知， = 3，4…，求

解：設，

∴() = () ==故 =

[例14]求()

解：由于級數收斂，根據柯西收斂準則，對任意的=0，特別地當時， = 0。

[1]劉書田．高等數學》(第二版)[M]．北京：北京大學出版社， 2005．

[2]丁家泰．微積分解題方法[M]．北京師范大學出版社， 1981．

[3]華東師范大學數學系．數學分析[M]．高等教育出版社， 1997.

[4] 同濟大學．高等數學[M]．北京：高等教育出版社， 2001．

趙普軍，洛陽理工學院師范學院

孫青茹，洛陽理工學院現代教育技術中心

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。