概率方法與恒等式的證明

恒等式“A=B”的證明，一般方法是：“A→B”型，“B→A”型，“A→C，B→C”型三種代數類型；而利用概率論思想方法及適當的概率模型可以較方便地解決一些看似較難的恒等式的證明。這不但拓寬了恒等式證明的思路，還說明了概率方法具有廣泛的作用，也說明了萬事萬物都是互相聯系、互相作用的哲學思想。現舉例如下：

例1：證明下面的恒等式：

其中為正整數，且

證明：考慮有個產品，其中有個正品，個副品的情況。將它們編號，從中取個（每次取一個，作不放回抽取）。則第次抽取首次出現正品的概率為：

= （ 表示排列種數）

由于副品總數為個，故若抽取次全為副品，則mn+1次以后應全為正品，此即事件 ：“第次首次出正品”，的并為必然事件，即：

又因是不放回抽取，每次取一個。

∴，即 = 1

因為正整數，兩邊同除以得：

1+++… =

例2：證明恒等式：

=

證明：可利用巴納赫火柴問題來證。設某人帶有兩盒火柴，分別放于左右兩口袋，每次取用時，他在兩盒中任抓一盒，從中任取一根。這種連續的抽取構成了一串的貝努里試驗。設開始每盒火柴恰有根。考慮他第一次發現空盒的時候，設從第一盒中選取為“成功”。“當發現第一盒火柴空了，第二盒還有根”這一事件。等價于“恰有次失敗發生在第次成功之前”，該事件的概率由巴斯卡分布知為：。因為兩盒火柴所處地位相同，可得事件：“當發現第一盒火柴空了，第二盒還有根”記為的概率為：

取0到的各事件之和為必然事件，所以：

即是

令，并注意到對應從0變到，而是從變到0，即得：

例3：證明對≤2有

成立。

證明：設{}這一列相互獨立的，同服從[0，1]上均勻分布的隨機變量，則{}獨立同分布，{}獨立同分布，且

) =

由柯爾莫哥洛夫強大數定理可得

()=0， () = 0，

即 = ， =，（1）

又因0<<1，≤2，故

≤≤

所以

≤，

據此依控制收斂定理及（1）式即可得到

[1]王梓坤著.概率論基礎及其應用[M].北京師大出版社，1996年.

[2]茆詩松，周紀薌編.概率論與數理統計[M].中國統計出版社，2000年.

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