三角函數(shù)求值的解題方法

“三角函數(shù)求值”問(wèn)題是三角函數(shù)的主題，是高考命題者的重要耕耘之地和眾考生的必爭(zhēng)之地。通覽近幾年高考試卷，“求值型”主、客觀試題屢見(jiàn)不鮮。這類試題重點(diǎn)考查對(duì)三角公式的靈活運(yùn)用和觀察、分析、化歸及運(yùn)算能力。主要可歸納為以下幾種題型：（1）無(wú)條件求值；（2）條件求值；（3）求三角函數(shù)的最值；（4）三角形中的三角函數(shù)的求值。下面就從這些類型出發(fā)，探求三角函數(shù)求值的解題方法。

無(wú)條件求值

無(wú)條件求值是指“給角求值”，由于這類求值涉及的是非特殊角，往往通過(guò)三角函數(shù)變換湊出特殊角或減少特殊角，設(shè)法產(chǎn)生抵消項(xiàng)或公因式進(jìn)行求值。

求的值。

解：原式=

條件求值

條件求值總是有兩種情形：（1）給值求值；（2）給值求角。對(duì)于前一情形關(guān)鍵在于“變角”，使所求式子中角與已知式子角相同或具有某種關(guān)系，從而得所求式子之值；對(duì)于后一情形可轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是“變角”――把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求角的函數(shù)值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求角，不要忽視對(duì)所求角的范圍考察。

已知：，

求的值。

解：

解得：

和差化積：(3)

和差化積：(4)

因

從而

已知：均為銳角，，求的值。

解：∵為銳角，

∴;

∴為銳角，可得

∵∴

求三角函數(shù)的最值

三角函數(shù)的最值與求代數(shù)函數(shù)的最值方法類似，常見(jiàn)的基本題型是：(1)化成一個(gè)角的三角函數(shù)；(2)化成關(guān)于某三角函數(shù)的二次函數(shù)型。但在求三角函數(shù)最值時(shí)要注意三角函數(shù)的有界性，尤其限制角的范圍時(shí)更要考慮三角函數(shù)值的范圍。

求函數(shù)的最大值。

解：

=

當(dāng)，即時(shí)，

設(shè)，求函數(shù)的最大值和最小值。

解：令t=sin，由于

∴

∴當(dāng)即時(shí)，；當(dāng)即時(shí)，

三角形中的三角函數(shù)求值

三角形中的三角函數(shù)求值 與三角函數(shù)的其它求值相比，多了一個(gè)限制條件(三內(nèi)角A，B，C滿足且A+B+C=)和兩個(gè)邊角互相轉(zhuǎn)化的定理(正、余弦定理)，解題時(shí)要充分運(yùn)用這些條件結(jié)合有關(guān)的三角公式進(jìn)行三角變換。這類問(wèn)題求解的思維模式是：

在ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，設(shè)，，求sinB的值。

解：由 ，可化為：

2RsinA+2RsinC = 2€識(shí)sinB，即sinA+sinC = 2sinB，從而2sin cos = 2sinB

∵sin=cos ，cos≠0，∴coscos =2sincos

即sin = ，從而cos = 。

∴sinB = 2sincos =

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。