ＭａｔＬａｂ在線性代數教學中的應用

線性代數是討論有限空間中線性關系經典理論的課程，是高職院校工科各專業的一門重要必修課，它邏輯性強、計算技巧高、具有較強的抽象性。而MATLAB軟件是由美國Mathworks公司于1984推出的科技應用軟件，具有數值和符號計算，計算結果和編程可視化，數學和文字統一處理，離線和在線計算等強大功能，尤其在矩陣運算方面有具大的應用。是進行線性代數課程輔助教學的有益工具。在教學中應該把兩者很好地結合起來，發揮現代科技的作用。

理論基礎

線性代數主要解決了解元線性方程組解的問題。元線性方程組分為奇次線性方程組和非奇次線性方程組，奇次線性方程組的解有三種情況：(1)有唯一的零解(2)無解(3)有無窮多解。非奇次線性方程組的解也有三種情況：(1)有唯一的解(2)無解(3)有無窮多解。下面就MATLAB在求解元線性方程組的唯一解、特解、通解問題上，來看MATLAB在線性代數上的應用。

應用舉例

1.求線性齊次方程組的通解()

齊次線性方程組的矩陣形式為

既其中，

如果齊次線性方程組的系數矩陣的秩數，方程組有唯一零解，如果齊次線性方程組的系數矩陣的秩數，則方程組的基礎解系存在，且每個基礎解系中，恰含有個解，在Matlab中建立M文件如下：

%以下所有程序都已在matlab下調試運行

A=input(‘請輸入方程組系數矩陣a=’)

disp(a)

r=rank(a);

if r==0

disp(‘方程組有唯一的零解’)

end

if r~=0

bs=1(a);

end

bs% X= k1*bs(:，1)+ k2*bs(:，2)+……+k(nr)*bs(:，nr)方程組的通解。

2.求非線性線性方程組的唯一解或特解。要非線性線性方程組有唯一解，必須滿足方程組的系數行列式不為零，可用逆矩陣法、矩陣的LU分解法、QR分解法和cholesky分解法求方程組的解，在Matlab中建立M文件如下(程序1)

a=input(‘請輸入方程組系數矩陣a:’)%輸入方程組的系數矩陣(a)為方陣

disp(a)

b=input(‘請輸入b矩陣:’)%輸入方程組右邊的矩陣b

disp(b)

[m，n]=size(a)%求系數矩陣的行(m)和列(n)的大小

if m~=n

x=rref([a:b])

disp(x)%若a不是方陣則x是特解

end

de=det(a);

if de==0

disp(‘a矩陣奇異請檢查!’)

end

x1=inv(a)*b

disp(x1)%x1是逆矩陣法求出的解

[L，U]=lu(a);

X2=U\\(L\\b)

disp(x2)%x2是LU分解法求出的解

[Q，R]=qr(a)

X3=R\\(Q\\b)

disp(x3)%x3是QR分解法求出的解

[R’，R]=chol(a);

X4=R\\(R’\\b)%x4是cholesky分解法求出的解

disp(x4)

例求方程組的解。

解:由程序1，輸入a=[5 6 1 2 3;1 5 6 10 7;2 1 5 6 4;1 1 1 5 6;3 2 4 1 5]；b=(1，0，0，0，1)’由于rank(A)=5，rank()=5，|a|≠0，即為R（A）=R（）=n的情形，有唯一解。

=[481/2081，229/9782，629/9782，305/9782，28/4891]x4解出錯。

如輸入b=(1，2，3，4，5)’由于rank(A)=5，rank()=4雖然|a|≠0，但R（A）≠R（），則顯示無解。

3.求非齊次線性方程組的通解（）

非齊次線性方程組需要先判斷方程組是否有解，若有解，則通解=對應齊次方程組的通解+非齊次方程組的一個特解；在Matlab中建立M文件如下(程序2)

clear all

a=input(‘請輸入方程組系數矩陣a:’)%輸入方程組的系數矩陣(a)為方陣

disp(a)

b=input(‘請輸入b矩陣:’)%輸入方程組右邊的矩陣b

disp(b)

[m，n]=size(a)%求系數矩陣的行(m)和列(n)的大小

[m，n]=size(A);

R=rank(A);

B=[A b];

Rr=rank(B);

format rat

if R==RrR==n%n為未知數的個數，判斷是否有唯一解

x1=A\\b;

elseif R==RrR

x=A\\b%求特解

C=1(A，‘r’)%求的基礎解系，所得C為列矩陣，這列即為對

%應的基礎解系

%這種情形方程組通解xx=k(p)*C(:，P)(p=1…nR)

else X=‘No solution!’ %判斷是否無解

end

例子：求方程組的通解。

解：由程序2，輸入=[1 1 1 1 1;3 2 1 1 3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 5];=[7 2 23 12]’得=[9/2 0 23/2 0 1/ 296468788895664]

=[1 2 1 0 0]；=[1 2 0 1 0]

所以方程組的通解為：

由以上例子可以看出，在線性代數教學中應用MATLAB具有很大的優越性，它是數學發展的需要，更是高職院校培養21世紀創新型、實踐型人才的需要。隨著辦學條件的改善，常規的《線性代數》教學將激發更大的活力。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。