催生思想：小學數學教學的至尊追求

從數學教學的角度看，數學思想是對數學知識融會貫通的理解和升華、對數學解題規(guī)律和數學本質的理性認識。

學生的數學思想是指學生在數學學習的過程中，對數學知識、數學方法和教材中滲透的數學思想的個性化理解以及由此產生的個性化思維方法和認知觀點，即是對數學知識、方法和思想的思想。

學生數學思想的初期表現(xiàn)是奇思妙想，它的高級階段是個性化的思維方法和認知觀點。我們清楚地知道，每一個學生都不是空著腦袋進教室的，任何年齡階段、任何發(fā)展水平的任何學生都是帶著自己已有的觀念進入教學過程，對學習過程的體驗、數學活動的親歷，都促使學生能夠在零散、初步、不自覺的感悟中逐步形成自己對數學本質的理解，經過不斷的積累與重建，形成獨特的數學觀點、個性化的數學見解。數學課堂有學生鮮明的數學思想在流淌，看到的、領悟到的就不只是文字、圖表和各種數學公式，而是跳躍著的真實而鮮活的思想。

數學思想把教材作為載體，學生的數學思想與學生的數學學習活動相伴相隨：學生的數學思想并不等同于教材的數學思想，更多時候并非齊頭并進、步調一致；數學思想與方法只有真正被接受、轉化、運用時才是活的、有生命力的思想，而這一切都有待于通過學生的數學思想來實現(xiàn)：它與學生的數學思想也沒有必然的先后順序，有時是同步進行，也可相互滲透，相互交織；學生的數學思想不是教師強加的，也不是對教材數學思想被動的照單全收，而是在經歷了不斷體驗、不斷感悟、不斷積累、不斷反思、不斷批判后逐步形成的。

因此，數學學習中，不僅要使學生能夠獲得適應未來社會和進一步發(fā)展所必需的重要數學知識，向學生滲透基本的數學思想與方法，培養(yǎng)學生的能力，更要通過數學學習催生學生的數學思想。獲取知識——滲透思想(教材)——催生思想(學生)應是數學教學的流程，其中，催生思想要作為數學教學的出發(fā)點和歸宿，成為小學數學教學的至尊追求。

一、抓整體

催生學生的數學思想，就要從整體出發(fā)，高屋建瓴，讓學生站在整個數學學習的“鏈”上，而非某一個知識點上，理順知識的來龍去脈，能夠挖掘出隱藏在不同知識表層下的同一性，達到對數學知識的深刻認識，把所學的零散知識串成鏈、鋪成面，逐步教給學生聯(lián)想、溝通、綜合等整體把握問題的策略，要沖破思維定勢的束縛，降低對模式的過分依賴。

1.課始5分鐘，找準切入點。找準新舊知識之間的聯(lián)系，抓住新舊知識的銜接點進行設計教學，從而縮短學生“已知”和“未知”的差距，給學生架起新舊知識過渡的橋梁，啟動學生的思維。課始5分鐘，巧妙創(chuàng)意，精心安排。既可以調節(jié)學生的心理環(huán)境，激發(fā)學生的學習興趣。更重要的是使學生能夠找準學習切入點，溝通知識的聯(lián)系。

2.課尾5分鐘，抓住思想點。課尾總結不應當是教師給課堂畫上一個句號，而是在組織學生回顧學習過程的基礎上，梳理所學知識，交流學習感受與體驗，提出學習中的疑惑，從而組建知識結構，發(fā)展數學能力，總結與提煉數學思想，并實現(xiàn)由課內向課外的延伸。在全課總結處教師讓學生先說話，學生就能將新的數學知識自覺主動地納入已有的知識結構中，進而促使他們的數學思想不斷形成與建構。

案例1 除數是小數的小數除法

課前：

師：今天我們學習除數是小數的小數除法，你覺得它與整數除法、與除數是整數的小數除法會有哪些相同點?又有哪些不同點?哪些地方是我們在學習過程中應該重點注意的?(喚起學生的知識儲備，有利于學生從整體把握局部。)

課尾：

(學生已經掌握了除數是小數的除法的計算方法，但僅僅會計算是不夠的。)

師：通過這節(jié)課的學習，你一定有很多收獲，你已經掌握了除數是小數的小數除法的計算方法了嗎?你能說說應該怎樣計算除數是小數的小數除法呢?

生：把除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法，按照整數除法的計算方法來計算。

生：商的小數點要和被除數的小數點對齊。

師：怎樣把除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法?

生：用商不變的性質。

師：還有哪些知識的學習也用到了轉化的數學思想?

通過課前與課尾教師設計的問題，學生自覺將整數除法——除數是整數的小數除法——除數是小數的小數除法作為一個完整的知識結構來整體思考，引導學生梳理總結時，再次體會轉化數學思想在計算教學中的運用。

二、抓本質

抓本質，就是要抓住那些揭示數學知識的基本原理，對學生的數學思考、數學學習起決定性支配作用的知識，透過數學知識的表面，挖掘深藏在其背后重要的本質內涵。

1.思路教學，讓思想引領探究。凡思必有路，即思考的條理與過程、思維的路線、思想的線索。倡導思路教學，就是把知識的發(fā)生發(fā)展思路、教師的教學思路和學生的學習思路發(fā)生耦合，相互感悟，相互影響，相互促進。好的數學學習一定能使學生具有很強的鑒賞力，知道什么是好的、優(yōu)化的解答；知道解決問題的每一步的目的；知道自己的思路與成功的距離；還能使學生自覺思考與反思自己的方法是否具有普遍性，能否推廣與應用到其他數學知識的學習中。

2.變式訓練，在變化中生成思想。數學學習需要模仿與練習，但僅靠模仿與機械的練習不僅不能催生學生的數學思想，還會陷入思維的誤區(qū)與定勢中，阻礙學生數學思想的形成。因此，數學學習要在模仿與練習的基礎上，進行必要的變式訓練，通過變式練習使學生獲得對數學知識與理解的本質領悟，指向數學知識的深層結構。所謂“萬變不離其宗”，就是于變化中弄清問題的知識基礎、方法與策略，把學生獨特的解題思路凝練成思想。

師：(圖1)能分別計算它們的面積嗎?兩個圓的面積相差多少?

師：如果把兩個圓合并(圖2)，認識這個圖形嗎?會計算陰影部分的面積嗎?

生：計算陰影部分的面積就是求圓環(huán)的面積，圓環(huán)的面積是用大圓的面積減去小圓的面積。

生：圓環(huán)的面積=3.14×(R²-r²)

師：改變小圓的位置(圖3)，你還能求陰影部分的面積嗎?

生：陰影部分的面積還是用大圓的面積減小圓的面積。

師：現(xiàn)在呢?陰影部分的面積是多少?(圖4)

師：你想說些什么?

師：(圖5)現(xiàn)在兩個陰影部分的面積相差多少呢?

這個題組練習，層層推進，使學生明白環(huán)形面積公式不是只能計算同心圓的環(huán)形面積，它的實際意義是求面積差。在解決問題的過程中，最終的答案不是最重要的，而是學生能用數學的眼光、數學的思想和方法來思考，于變化、發(fā)展中抓住事物的本質。

三、抓聯(lián)系

數學知識是一個有機的整體，教材編排也反映了各部分內容之間的聯(lián)系和綜合，這有利于學生對數學的整體認識，溝通知識網絡系統(tǒng)中相關知識點之間的聯(lián)系，可為更高層次的思維活動埋下伏筆。在新舊知識的銜接處，在承上啟下的過渡處，在思考問題的轉折處，在歸納結論的關鍵處，注意知識的聯(lián)系和整合，注重橫向溝通、縱向拓展，讓知識的建構成輻射狀態(tài)，學生的思想便在聯(lián)系中不斷催生。

1.從舊到新。數學知識具有系統(tǒng)性、聯(lián)系性。一切有意義的學習都是在原有認知結構的基礎上進行的。所謂“溫故而知新”，遷移與轉化都體現(xiàn)原有的知識基礎對新知學習和后繼學習所承載的重要作用。教師要善于在學生原有知識的基礎上找準教學的切入點，使學生順利地把新知納入到已有的知識系統(tǒng)中。學生穩(wěn)固的知識體系一經建立，也便于學生思想體系的形成。

2.從“三”到“一”。那些在學習過程中能夠觸類旁通、舉一反三的學生，不僅是具體知識內容的接受、掌握、理解和運用得好，而且一定是能夠用整體的、聯(lián)系的、結構化的思想來指導基礎知識的學習，能夠由此及彼，舉三反一，舉一反三。

案例3 奇妙的圖形密鋪

師：通過動手操作，我們發(fā)現(xiàn)正方形和長方形都能密鋪。其他的平面圖形能不能密鋪呢?

下面幾種圖形也能密鋪嗎?動手試一試。

生：平行四邊形、梯形、三角形都能密鋪。圓和正五邊形不能密鋪。

師：其實，圖形的密鋪戩們不是第一次接觸，想想，我們在學習什么知識時已經用到了圖形密鋪的知識了呢?

生：老師，我知道了，平行四邊形能密鋪，三角形就能密鋪，梯形也就能密鋪。

師：這是為什么?

生：因為兩個完全一樣的三角形能拼成一個平行四邊形，兩個完全一樣的梯形也能拼成一個平行四邊形。

生：不只是正三角形，其他形狀的三角形也可以密鋪。

生：我還知道，正三角形能密鋪，正六邊形就能密鋪。

師：同學們能抓住圖形之間的聯(lián)系來思考問題，很了不起。剛才我們通過動手操作的方法驗證哪些圖形能密鋪，除此之外，還有其他的驗證辦法嗎?

生(楊瑞)：老師，我用計算的方法也能知道哪些圖形能密鋪，比如我把4個正方形拼在一起，4個正方形接頭的地方正好是每個正方形的一個角，把4個角加起來就是360°。把正五邊形分成3個三角形。三角形的內角和是180。，正五邊形的內角和就是180。×3=540°，一個內角就是540°÷5=108°，360不能被108整除，所以正五邊形不能密鋪。

師：楊瑞同學能夠在計算中發(fā)現(xiàn)圖形密鋪的條件，并且能把知識聯(lián)系起來思考問題，這是非常好的思維品質。楊瑞同學的方法是否給大家一個啟發(fā)，說明計算還有怎樣的功能呢?

生：驗證的功能。

師：你能用這個方法驗證平行四邊形、梯形、三角形、正八邊形等平面圖形能否密鋪嗎?

這個教學片段中，教師引導學生將同一知識領域不同方面的知識聯(lián)系起來，用不同的方法解決相同的問題，學生在知識的聯(lián)系中、方法的比較中逐步形成解決問題的能力。

四、抓比較

數學知識之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，解題思路更是因學生思維習慣、思維風格的不同而各顯特色，數學學習中，引導學生對數學知識、解題思路進行必要的討論、交流、比較，使學生弄清不同知識之間的內在聯(lián)系，不同解題思路之間的方法實質和思想脈絡，在比較中鑒別，在鑒別中知識納入體系，思路形成系統(tǒng)，通過不斷的比較，使學生的思維從狹隘走向廣闊。從膚淺走向深刻，提高學生的自我認識水平，使學生的學習過程更有活力。

學習過程中，正確的思路也許是相似的，但錯誤的思路則各有各的不同。通過正確與正確、正確與錯誤、錯誤與錯誤的比較，讓正確與錯誤都成為不可多得的教學資源。在比較中形成鑒別能力，對于正確的結果，要比較誰的方法更優(yōu)化，誰的解法更簡潔，誰的思路更靈活；對于錯誤的結果，更要比較與分析錯誤是怎樣錯的，錯誤中是否有正確的因素，正確與錯誤比較后找到問題所在。在不斷的比較中，學生自覺反思的意識逐漸加強。

案例4 圓的周長

師：請同學們拿出準備好的圓片，想辦法測量出它的周長和直徑，計算出周長除以直徑的商，比較大小不同的圓周長與直徑之間的關系。

(小組匯報時，有的組周長是直徑的2倍多一些，多數小組是3倍多一些，還有的是4倍多一些。)

師：為什么各組的結果會有誤差呢?是不是不同的圓的周長與直徑之間的關系不一樣呢?

生：不對，一定是量的過程中有誤差。

師：圓周長與直徑之間的關系到底在怎樣的范圍內呢?下面的兩幅圖會對同學們的思考有所啟發(fā)和幫助。

思考：

1.哪一條線段既與圓有關又與正方形有關?

2.正方形周長是直徑的幾倍?

3.請你猜一猜，圓的周長會是直徑的4倍嗎?是4倍多一些還是少一些?

思考：正六邊形的邊長正好是圓的半徑，正六邊形的周長是半徑的幾倍?是直徑的幾倍?請你猜一猜，圓的周長會是直徑的3倍嗎?是3倍多一些還是少一些?

師：通過猜測，你想說些什么?

生：我想，圓的周長應該是同圓直徑的3倍多一些、4倍少一些。

以上教學片段，教師面對學生不同的答案不是權威的告知，而是創(chuàng)造條件鼓勵學生大膽猜測，促進學生的思考，讓學生在猜測、比較中鑒別，在鑒別中形成能力，在能力形成中提升思想。

思想——數學思想——學生的數學思想，從滿足于知識的教學，到能力教學，再到催生數學思想的教學，這是教學的出發(fā)點和歸宿，也是教學改革的趨勢。讓數學教學的過程成為學生思想流淌的過程，是小學數學教學的至尊追求。當教師在課堂上感受到學生鮮活的思想在流淌，我們便開始觸碰教學的本質，體驗教學的神圣。