一種分數階傅里葉變換快速算法的研究

摘 要：介紹了分數階傅里葉變換的定義，接著提出了一種分數階傅里葉變換的快速算法，其中分數階傅里葉變換快速算法分三步進行：線性調頻信號乘法，線性調頻信號卷積，另一個線性調頻信號乘法，從而利用FFT來計算FRFT。這種算法思想直觀，結果與連續FRFT的輸出接近。最后用具體的信號作了計算機仿真，并給出Matlab仿真結果圖。

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關鍵詞：分數階傅里葉變換；FFT；時頻分析；卷積

中圖分類號：TN9117 文獻標識碼：A

文章編號：1004-373X(2008)09-156-02

Research on Fast Algorithm for Fractional Fourier Transform

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HUANG Qiongling，LIU Zhenxing，WEI Yu

(Department of Information，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan，430081，China)

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Abstract：The definition of the Fractional Fourier Transform (FRFT) is presented in the paper.A new algorithm for efficient and accurate computation of FRFT is given.The new algorithm of FRFT includes three steps:The multiplication of linear frequency modulation signal;the convolve of linear frequency modulation signal;another multiplication of linear frequency modulation signal;so as tomake use of FFT to compute FRFT.This kind of calculate waykeeps a view and the output is close to the continuous FRFT.Finally，a few simulation results for some typical signals are provided to compare with previous ones by other methods in the end.

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Keywords：fractional fourier transform;FFT;time-frequency analysis;convolve

1 分數階傅里葉變換的定義

傳統的傅里葉變換(FFT)對平穩信號的處理效果很好，但當信號頻率隨時間變化時，FFT就顯得有些力不從心了。分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，FRFT)可以很好地彌補FFT的不足，特別是處理線性調頻信號(LFM)時，能夠得到令人滿意的結果。

FRFT也稱為角度傅里葉變換(AFT) 或者旋轉傅里葉變換(RFT)，其定義式為:



Xp(u)=Rα［x(t)］=∫∞－∞Kp(t，u)x(t)dt

(1)



式中變換核取作：



Kp(t，u)=1－jcot α2π

ej(12u2cot α－utcsc α+12t2cot α)， α≠nπ

δ(t－u)， α=2nπ

δ(t+u)， α=(2n+1)π

其中n為整數，即n∈Z。α=pπ/2稱為分數階Fourier變換的階數，并有Rα=Rpπ2=Fp。Kp(t，u)稱為FRFT的核函數。Xp(u)稱為x(t)的p階Fourier變換。FRFT是一種線性算子，記為Fp，他滿足以下性質： 

(1) FRFT變換為線性算子；

(2) F0［x(t)］=F4［x(t)］=x(t)(恒等變換)；

(3) F1［x(t)］=F5［x(t)］=X(ω)(標準Fourier變換)；

(4) 廣義Fourier變換算子為加性算子，即有Fp+q=FpFq。

2 采用分解方法計算FRFT的步驟

分數階Fourier變換可以具體分解為以下三個主要的計算步驟：線性調頻信號乘法；線性調頻信號卷積；另一個線性調頻信號乘法。假定p∈［－1，1］，則我們可以將經過量綱歸一化的信號f(x)的分數階Fourier變換式(2)分解為以下三步運算：



fp(x)=e－jπx2tan(α/2)g′(x)

(3)



和:

即是說，分數階Fourier變換的數值計算的順序如下：先計算式(式(5))，再計算式(4)，最后計算式(3)。下面是每一步計算的有關細節。

第一步：將函數f(x)與線性調頻函數相乘(式(5))。注意，g(x)的頻率帶寬與時間帶寬乘積可以是f(x)的相應帶寬乘積的兩倍，所以要求g(x)的采樣間隔為1/(2Δx)。如果f(x)樣本值的采樣間隔是1/Δx，那么就需要對這些樣本值進行插值，然后再與線性調頻函數的離散采樣值相乘，以得到所希望的g(x)的采樣。

第二步：將g(x)與一線性調頻函數作卷積式(式(4))。注意，由于g(x)是帶限信號，所以線性調頻函數也可以用其帶限形式代替而不會有任何影響。也就是說，我們可以取:



g′(x)=Aα∫∞－∞ejπβ(x－x′)2g(x′)dx′

=Aα∫∞－∞h(x－x′)g(x′)dx′

(7)



是函數ejπβx2的Fourier變換。于是，式(7)的離散形式為:



g′(m2Δx)=∑Nn=－Nhm－n2Δxgn2Δx

(10)



這一離散卷積可以利用快速Fourier變換計算。

第三步：計算式(3)得到f(x)的分數階Fourier變換fp(x)的采樣值fpm2Δx。由于假定f(x)的所有變換都是帶限的，他們位于區間－12Δx，12Δx，所以需要用因子2對fpm2Δx進行二抽一采樣，以得到離散采樣fpm2Δx。因此，對于不是π/2整數倍的角度，分數階Fourier變換的計算對應以下步驟：

(1) 原信號與一線性調頻函數相乘；

(2) Fourier變換(其變元乘以尺度系數csc α)；

(3) 再與一線性調頻函數相乘；

(4) 乘以一復幅值因子。

3 對信號的FRFT處理及仿真圖

首先要給出一個輸入信號x，然后根據分解方法編出FRFT快速算法，根據不同的p值輸入信號x會生成不同的曲線，其中p∈(0，4)。找出每個p值時FRFT的輸出最大值點，組成一個一維數組m1，再從m1中找出一個最大值，該值所對應的p值就是FRFT變換的最佳角度α=pπ/2。

由圖1(d)中可以看出當p=1時，α=π/2就是普通的傅里葉變換，這也驗證了分數階傅里葉變換的正確性。

圖2 chirp信號隨著p變化的FRFT變換仿真結果

由圖2可以看出，在圖2(e)中p=15的時候，即α=3π/4時形成了一個沖擊信號，說明了在此角度上信號的能量最好地集聚在一點上，由此可以識別出信號的調頻系數，檢測出信號的參數，這就是FRFT處理LFM信號的顯著作用。

4 結 語

分數階傅里葉變換是近二十年來發展起來的一種全新的信號時頻分析工具，在很多方面得到了十分廣泛的應用。而其快速算法的研究則對擴展其應用領域有著十分重要的意義。本文提出了一種有效并能準確計算FRFT 的新算法。該算法具有易實現、易理解、精度較高等優點，相信FRFT將會受到更廣泛的重視，在信號處理領域會有良好的應用前景。

參 考 文 獻

［1］平先軍，陶然，周思永，等.一種新的分數階傅里葉變換快速算法\\[J\\].電子學報，2001，29(3):406-408.

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［2］Lufs B Almeida.The Fractonal Fourier Transform and Time-Frequency Representations ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42(11).

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［3］尉宇.線性調頻和非線性調頻信號的檢測與參數估計\\[D\\].武漢：華中科技大學，2005.

作者簡介 黃瓊玲 1982年出生，碩士研究生。主要研究方向為數字信號處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。