兩種實(shí)現(xiàn)寬帶信號(hào)空間重采樣測(cè)向算法的比較

摘 要：空間重采樣是一種用于寬帶信號(hào)的處理方法。由于寬頻帶的緣故，使得不同頻率的信號(hào)陣列流行不同，適用于窄帶信號(hào)的處理方法就不能直接用于寬帶信號(hào)。為了把不同頻率的信號(hào)子空間對(duì)齊，空間重采樣的方法通過(guò)將接收到的陣列信號(hào)通過(guò)變換得到滿足要求的虛擬陣列輸出，從而達(dá)到聚焦的效果，基于聚焦思想的算法保持了其對(duì)相干信號(hào)的處理能力。可以通過(guò)不同的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)空間重采樣，論述了空間重采樣的基本原理以及兩種不同的實(shí)現(xiàn)方法，并通過(guò)仿真比較了兩種算法的測(cè)向性能。



關(guān)鍵詞：空間重采樣；寬帶信號(hào)；方位估計(jì)；FFT；濾波器

中圖分類號(hào)：TN911.83 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1004-373X(2008)09-145-05

Comparision of Two Different Methods for Spatial Resampling onWideband Signal′s DOA



TIAN Ye1，2，ZHAO Chunhui2

(1.Harbin Normal University，Harbin，150500，China;2.College of Information Communication Engineering，

Harbin Engineering University，Harbin，150001，China)



Abstract：Spatial resample is a kind of algorithm used to process wideband signals.Due to the wide band，as the different frequency the array manifold is different，that those methods we used in single frequency circumstances could not be used in wideband situations any more.In order to make the signal subspaces alike (the same is what we subject to)，we receive virtual array outputs which are transferred from the inputs received by receiving array through spatial resample processing.Basing on focus algorithm，the algorithm remains the ability of handling coherent signals.There are different ways to implement spatial resample.The basic principle of spatial resample here is discussed and two different means is proposed.At last the two through emulations are compared.



Keywords：spatial resample;wide-band signal;DOA;FFT;filter

1 引 言

陣列信號(hào)處理在近幾十年來(lái)得到迅速的發(fā)展。空間譜估計(jì)作為陣列信號(hào)處理的重要分支也得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，成為了陣列信號(hào)處理學(xué)科的重要發(fā)展方向。

寬帶信號(hào)是雷達(dá)、聲納及通信中常遇到的一類特殊信號(hào)。對(duì)寬帶信號(hào)的處理，在子空間思想的基礎(chǔ)上衍生出了非相干信號(hào)子空間法(Incoherent Signal-Subspace Method)和相干信號(hào)子空間法(Coherent Signal-Subspace Method，CSM)。非相干信號(hào)的方法先將寬帶信號(hào)分解成若干個(gè)窄帶信號(hào)，再對(duì)于每個(gè)子帶應(yīng)用窄帶高分辨算法進(jìn)行方位估計(jì)，最后把各子帶的估計(jì)結(jié)果合成為最后的寬帶測(cè)向結(jié)果。這種方法的缺點(diǎn)是不能解相干源，而且分辨能力較低。相干信號(hào)子空間法(CSM)通過(guò)聚焦將各子帶的信號(hào)聚焦到一個(gè)子空間中，使得子空間的維數(shù)等于寬帶信號(hào)源的個(gè)數(shù)，從而可以使用窄帶的方法進(jìn)行方位估計(jì)，具有解相干的能力，而且可以顯著地提高分辨率。但是這類算法中很多都需要對(duì)方向進(jìn)行預(yù)估計(jì)，而且最終的測(cè)向結(jié)果很大程度上受到預(yù)估計(jì)準(zhǔn)確性的影響。

目前對(duì)窄帶信號(hào)的方位估計(jì)的算法的研究已經(jīng)非常成熟，如何使得這些適用于窄帶信號(hào)的成熟的算法也能用于寬帶信號(hào)，從而改善寬帶信號(hào)的測(cè)向性能。從寬帶信號(hào)的特性可知，由于帶寬較寬的緣故相對(duì)窄帶的情況引入了測(cè)向模糊的問(wèn)題，使得窄帶的測(cè)向算法不能直接適用于寬帶信號(hào)。為了利用已成熟的優(yōu)良的窄帶測(cè)向算法，結(jié)合寬帶信號(hào)的特點(diǎn)，就必須對(duì)寬帶信號(hào)在保證信息無(wú)損失的前提下進(jìn)行一定形式的變換使之能滿足窄帶測(cè)向算法的要求。從而，對(duì)寬帶信號(hào)應(yīng)用測(cè)向算法前進(jìn)行的變換處理就成為了我們研究的內(nèi)容。

為了避免初始方位角的估計(jì)，文獻(xiàn)［1］提出了廣義陣列流行內(nèi)插算法，引入了指向矢量的貝塞爾函數(shù)近似表達(dá)式，從而將方向矩陣變換成兩部分，一部分與方向有關(guān)，一部分與頻率有關(guān)，因此在求聚焦變換矩陣時(shí)不需要進(jìn)行方向預(yù)估計(jì)。但是該算法在用貝塞爾函數(shù)表示指向矢量時(shí)引入了誤差，而且要獲得聚焦矩陣需要在每個(gè)子帶內(nèi)進(jìn)行特征值分解運(yùn)算，因此運(yùn)算量很大。文獻(xiàn)［2，3］提出了空間重采樣的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)聚焦，空間重采樣的方法不需要方向預(yù)估計(jì)，而且降低了運(yùn)算量。

本文分析了空間重采樣的算法原理，并且討論了實(shí)現(xiàn)空間重采樣的兩種不同方法，最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)以文獻(xiàn)［1］提出的廣義陣列流行內(nèi)插算法作為參考驗(yàn)證了算法的有效性，并且對(duì)討論的兩種空間重采樣算法的性能進(jìn)行了比較。

2 信號(hào)模型

考慮由M個(gè)陣元組成的均勻線陣，各陣元間距為d，為避免相位模糊，d小于入射信號(hào)最高頻率所對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的1/2。空間中有P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)平面波，占有相同的帶寬且為帶寬與中心頻率可比的寬帶信號(hào)，其入射方向分別為θ1，…，θP。則第m個(gè)傳感器上接收到的信號(hào)可表示為：



xm(t)=∑Pp=1sp(t+(m－1)dsin θp/c)+nm(t)

(1)



其中：sp(t)為p方向入射的寬帶信號(hào)，nm(t)為加性噪聲，c為波的傳播速度。通過(guò)DFT變換得到其窄帶fk處對(duì)應(yīng)的頻域表達(dá)式為：





xm(fk)=∑Pp=1exp(j2πfk(m－1)dsin θp/c)+nm(fk)

(2)



那么陣列的輸出用矩陣的形式可表示為：

am(fk)=［1，exp(j2πdfksin θm/c)，…，

exp(j(M－1)2πdfksin θm/c)］T

(5)



式中：c為聲速，θm為第m個(gè)目標(biāo)的入射角:



[WTHX]S[WTBX](fk)=［s1(fk)s2(fk)…sP(fk)］T

(6)



對(duì)寬帶信號(hào)，整個(gè)帶寬內(nèi)被分成K個(gè)窄帶，在信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立的條件下，子帶的協(xié)方差矩陣表示為[WTHX]R[WTBX](fk)。



3 空間重采樣算法

由上述式(4)和式(5)可以得知，對(duì)于不同的頻率會(huì)得到不同的方向矩陣，根據(jù)窄帶Music算法的原理可以知道，那么對(duì)應(yīng)不同頻率處的信號(hào)張成的信號(hào)子空間就不同，相關(guān)信號(hào)子空間的聚焦方法就是通過(guò)將陣列的輸出進(jìn)行線性變換，使帶寬范圍內(nèi)不同頻率處的方向矩陣保持常數(shù)。用[WTHX]X[WTBX](fk)和[WTHX]A[WTBX](fk，a)分別表示頻率為fk陣列的輸出和方向矩陣，用f0表示聚焦頻率，那么相關(guān)信號(hào)子空間聚焦方法就是要得到聚焦變換矩陣[WTHX]T[WTBX](fk)使得下式成立：



A(fk，a)=[WTHX]T[WTBX](fk)[WTHX]A[WTBX](fk，a)=[WTHX]A[WTBX](f0，a)

(8)



那么，寬帶信號(hào)的協(xié)方差可以表示為:



R(f0)=∑J[]k=1[WTHX]T[WTBX](fk)[WTHX]R[WTBX](fk)[WTHX]T[WTBX]H(fk)

(9)



上述聚焦的思想就是通過(guò)對(duì)陣列接收到的信號(hào)進(jìn)行線性變換得到相同的信號(hào)子空間，直觀地說(shuō)就是要使得接收到的不同頻率信號(hào)得到相同的方向矩陣。基于這種思想分析式(4)可知要使得[WTHX]A[WTBX](fk)=[WTHX]A[WTBX](f0)成立，既要am(fk)=am(f0)，由式(5)可知只要滿足:



dfk=常數(shù)

(10)



就能滿足聚焦算法的要求。那么陣元間距應(yīng)該是頻率的函數(shù)d應(yīng)該是一個(gè)頻率的函數(shù)，表示為d(fk)。那么有:



d(fk)fk=d0f0

(11)



則:



d(fk)=d0f0/fk

(12)



其中d0表示真實(shí)陣元間距。

為了得到相同的方向向量，空間重采樣的基本思想就是通過(guò)變換陣元間距d(fk)來(lái)得到。真實(shí)的測(cè)向陣列陣元間距是固定不變的，對(duì)應(yīng)不同頻率采用不同間距的陣列來(lái)接收也是不現(xiàn)實(shí)的。也就是說(shuō)要通過(guò)物理的方法來(lái)得到相同的方向矩陣是不可取的，那么就需要對(duì)接收到的陣列信號(hào)用合理的方法進(jìn)行處理，希望經(jīng)過(guò)處理后能得到與真實(shí)陣元間距不同的虛擬陣元(對(duì)應(yīng)頻率為fk時(shí)陣元間距為d(fk))的輸出。這樣通過(guò)調(diào)整陣元間距的方法實(shí)質(zhì)上與聚焦的思想是一致的，只是達(dá)到聚焦的目的與上述信號(hào)子空間方法不同。

調(diào)整陣元間距得到虛擬陣元輸出可以通過(guò)不同的變換方法來(lái)得到，下面分析兩種基于不同原理的變換算法：

數(shù)字濾波器的方法；

基于FFT變化的方法。

通過(guò)第4部分的仿真實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果比較了兩者的測(cè)向性能。

3.1 數(shù)字濾波器的空間重采樣算法

首先，建立一個(gè)空間頻率的概念。我們研究均勻分布的線性陣列的情況，把同一時(shí)刻M個(gè)陣元的輸出假設(shè)為一離散的時(shí)間序列，那么不同的陣元間距就對(duì)應(yīng)了不同的信號(hào)頻率，稱為空間頻率。采用空間頻率的概念，從空間重采樣的原理來(lái)看，就是要通過(guò)一定的處理來(lái)改變空間頻率。文獻(xiàn)［2］中對(duì)頻率映射濾波器(frequency-mapping filter)進(jìn)行了研究。用{xn}和{yn}分別表示輸入和輸出，h(n，m)表示濾波器的沖擊響應(yīng)，則可得：



yn=∑mh(n，m)xm

(13)



由Z變換和Z反變換可以得到:



yn=1/2πj∫X(z)Q(n，z)/zdz

可見(jiàn)，此時(shí)的傳遞函數(shù)為δ函數(shù)，對(duì)于一確定的輸入而言，該濾波器將頻率為φ處的信號(hào)移到了Ψ=g(φ)處。我們稱這種濾波器為頻率映射濾波器。

從上述濾波器的原理可以看到，通過(guò)該濾波器的處理，輸入信號(hào)的頻率發(fā)生了變化。這樣的結(jié)果正是空間重采樣所需要的，將空間信號(hào)作為輸入得到變換了空間頻率的輸出信號(hào)。空間頻率的變換既是陣元間距的變換，從而得到虛擬陣列輸出。用hk(n，m)表示時(shí)頻fk處濾波器的沖激響應(yīng)，聚焦變換可以表示為：



x(n，fk)=∑[DD(]∞[]m=－∞[DD)]hk(n，m)x(m，fk)

(20)



文獻(xiàn)［4］研究得到了使重采樣絕對(duì)誤差最小的理想濾波器，沖擊響應(yīng)為：





h0k(n，m)=1πsin(Ψk(w0n/wk－m))/(w0n/wk－m)

(21)



其中Ψk=min(π，(w0/wk)π)。

理想的重采樣濾波器需要無(wú)限長(zhǎng)的陣列，真實(shí)陣列陣元個(gè)數(shù)是有限的，文獻(xiàn)［4］中的研究表明最佳的有限長(zhǎng)重采樣濾波器表示為

h+k(n，m):



h+k(n，m)=h0k(n，m)，(m=－K，…，K)

(22)



陣元數(shù)M滿足：M=2K+1。為了避免大的采樣誤差，輸出端可選擇的最大陣元數(shù)為M=2K+1，K=round(Kwl/w0)，wl和w0分別為信號(hào)的最低頻率和聚焦頻率。

通過(guò)濾波器的處理得到虛擬陣列輸出滿足了聚焦的要求，因此陣列總輸出可以表示為各子帶加和的形式得到

頻率fk處的虛擬陣元輸出[WTHX]X[WTBX]k與真實(shí)陣列輸出[WTHX]X[WTBX]k之間滿足以下關(guān)系： 由式(27)得到聚焦的協(xié)方差矩陣，進(jìn)而可以利用窄帶的方法對(duì)[WTHX]R[WTBX]進(jìn)行測(cè)向運(yùn)算，得到陣列接收信號(hào)的方位估計(jì)。

3.2 基于FFT變換的空間重采樣算法

基于FFT變換的空間重采樣方法與通過(guò)頻率映射濾波器的處理方法基本思想不同，但是他們都是建立在空間信號(hào)的基礎(chǔ)上的。我們把陣元的序列對(duì)等于時(shí)間序列，與時(shí)間域相對(duì)應(yīng)的有空間域的概念，從而對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行的各種處理方法同樣可以用在空域信號(hào)上。

為了使得不同的頻率子帶對(duì)應(yīng)的信號(hào)子空間相同，當(dāng)子帶的中心頻率壓縮了ρ倍時(shí)，就需將線列陣的陣元間距擴(kuò)展ρ倍。為獲得陣元間距不同于真實(shí)陣元間距的虛擬陣列的輸出，必須對(duì)真實(shí)陣列進(jìn)行插值。由采樣定理可知，一個(gè)頻譜受限的連續(xù)信號(hào)可以用等間隔的抽樣值惟一表示，采樣的間隔滿足不大于1/2fmax。我們將真實(shí)均勻線列陣的輸出看作是對(duì)一連續(xù)線陣的采樣，只要滿足采樣定理，即d<1/2λmin(λmin為最高信號(hào)頻率波長(zhǎng))那么連續(xù)線陣的輸出就可以由采樣值恢復(fù)得到，從而其上的任一點(diǎn)的輸出都能相應(yīng)的得到。也既是說(shuō)虛擬陣列的輸出可以通過(guò)真實(shí)陣列輸出恢復(fù)的連續(xù)線陣得到。

為了使得虛擬陣元都分布在真實(shí)陣元內(nèi)部，那么必須選擇信號(hào)的最低頻率作為聚焦頻率，同時(shí)為了滿足采樣定理，真實(shí)陣元的間距應(yīng)為最高頻率波長(zhǎng)的一半即1/2λmin。

若要將陣元數(shù)為M，陣元間距為d的真實(shí)均勻線列陣的采樣輸出插值為陣元間距為ρd(ρ≤1)的虛擬均勻線列陣輸出，具體方法如下：

(1) 將真實(shí)陣列的采樣輸出做M點(diǎn)FFT變換。

(2) 計(jì)算虛擬陣的陣元數(shù)D=Round(M/ρ)，其中Round(#8226;)表示取最接近于M/ρ的一個(gè)整數(shù)。

(3) 將第一步中的變換結(jié)果做添值處理(增加適當(dāng)?shù)闹担ǔＴ谖膊刻砑硬⒂谑固砑拥闹蹬c最后的值保持一致)，然后進(jìn)行D點(diǎn)的逆FFT變換即可得到虛擬陣的輸出。

(4) 從虛擬陣的D個(gè)輸出中取出連續(xù)的M個(gè)輸出作為陣列的輸出(通常取中間的部分)。

對(duì)于每個(gè)子帶都進(jìn)行如上處理后，得到方向矩陣一致的輸出，將各子帶的輸出加和，從而可以利用窄帶的方法進(jìn)行后續(xù)的測(cè)向處理。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證兩種算法的可行性。為了滿足空間采樣定理，真實(shí)陣的陣元間距d應(yīng)小于寬帶信號(hào)最高頻率fmax對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的一半，此外，為保證虛擬陣列的插值點(diǎn)位于真實(shí)陣列的內(nèi)部，聚焦的頻率應(yīng)選擇寬帶信號(hào)最低頻率fmin。

首先比較兩種空間重采樣的性能。設(shè)有15個(gè)陣元組成的均勻線列陣，入射信號(hào)的帶寬為 75～125 Hz，相對(duì)帶寬為50％，入射角度分別為25°，30°，45°，噪聲為不相關(guān)的空間白噪聲，第二個(gè)信號(hào)是經(jīng)第一個(gè)信號(hào)延遲05 s得到的相干信號(hào)。每次估計(jì)時(shí)，信號(hào)帶寬被分解為10個(gè)子帶，空間信源的功率相等。由于陣元的限制要得到相對(duì)誤差較小的測(cè)向結(jié)果空間重采樣的方法要求取較大的快拍數(shù)k=500，在信噪比為15 dB的情況下分別進(jìn)行50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，兩種空間重采樣方法所得譜估計(jì)結(jié)果的均值如圖1，圖2所示，根據(jù)文獻(xiàn)［1］中的陣列流形內(nèi)插算法在相同條件下得到的測(cè)向結(jié)果如圖3所示。[WTBZ]

圖1 FFT方法方位譜

圖2 濾波器方法的方位譜

測(cè)向算法的均方誤差定義為各個(gè)方向上的均方誤差的和的平均。從均方誤差的大小上能較為直觀的得到各算法的測(cè)向性能的比較。

從圖1、圖2和圖3的比較可以看出空間重采樣的算法的優(yōu)越性。

在相同條件下，列出空間重采樣兩種算法的10次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)估計(jì)結(jié)果和均方誤差如表1，表2所示，對(duì)比兩者的測(cè)向性能。由表1，表2的比較結(jié)果可以得出FFT方法相對(duì)濾波器方法的性能更優(yōu)越。

圖3 陣列流形內(nèi)插算法

表1 FFT方法估計(jì)結(jié)果

陣列流形內(nèi)插算法中用近似計(jì)算來(lái)代替貝塞爾函數(shù)的無(wú)窮加和，為得到正確的結(jié)果應(yīng)增大n值，當(dāng)增大到n=-35∶35時(shí)得到如圖4所示的測(cè)向結(jié)果，隨著n的增大測(cè)向算法的計(jì)算量也相應(yīng)增大。

5 結(jié) 語(yǔ)

空間重采樣的方法通過(guò)對(duì)接收到的信號(hào)進(jìn)行變換使得不同頻率的信號(hào)得到相同的信號(hào)子空間。

這種算法也是基于聚焦的思想，其頻域處理保持了對(duì)相干信號(hào)子的處理能力。因?yàn)椴恍枰獙?duì)方位進(jìn)行預(yù)估計(jì)克服了一般方法對(duì)預(yù)估計(jì)角度的依賴性。正是在這方面基于FFT的空間重采樣方法改善了方位估計(jì)的性能。

空間重采樣算法與陣列流形內(nèi)插算法相比測(cè)向性能更加優(yōu)越。由文中對(duì)空間重采樣算法原理的介紹可以看到基于FFT的空間重采樣算法是通過(guò)對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行空間傅里葉變換來(lái)得到，而通過(guò)濾波器變換的算法由于在進(jìn)行濾波器變換的時(shí)候引入了近似運(yùn)算(對(duì)濾波器進(jìn)行加窗處理)使得算法存在不可避免的算法誤差，因此相比基于FFT的空間重采樣算法的性能要差一些，而陣列流形內(nèi)插算法由于貝塞爾函數(shù)的近似運(yùn)算也從根本上就存在了算法誤差，加之計(jì)算量較大，因此測(cè)向性能與空間重采樣的方法相比要差一些。

圖4 陣列流形內(nèi)插算法

在空間重采樣算法的應(yīng)用中為了使得虛擬陣元在真實(shí)[CM(23]陣元內(nèi)部須選擇最低頻率作為中心頻率。基于FFT的空[CM)][LL]間重采樣算法在進(jìn)行虛擬陣元數(shù)計(jì)算時(shí)D=Round(M/ρ)可能因此引入誤差，為了避免由于近似運(yùn)算引入的誤差就必須選擇合適數(shù)量的子帶使得需要增加的陣元數(shù)恰好為整數(shù)，從而可以避免近似運(yùn)算引入的算法誤差。同時(shí)，為了滿足采樣定理陣元間距必須小于最高頻率信號(hào)波長(zhǎng)的一半，降低了基陣的相對(duì)孔徑，導(dǎo)致了其在低信噪比條件下估計(jì)信能的下降，但隨信噪比的提高，其估計(jì)性能迅速提高。空間重采樣寬帶信號(hào)方位估計(jì)算法要得到預(yù)期的測(cè)向效果，對(duì)于陣元的選擇和子帶的選擇有嚴(yán)格的要求。

參 考 文 獻(xiàn)

［1］Doron M A，Doron E，Weiss A J.Coherent Wide-band Processing for Arbitrary Array Geometry\\[J\\].IEEE Trans.Signal Processing，1993(41):414-417.



［2］Krolik J，Swingler D，F(xiàn)ocused Wide-Band Array Processing by Spatial Resampling\\[J\\].IEEE Trans.ASSP，1990，38(2)：356-360.



［3］朱維杰，孫進(jìn)才.基于快速富式變換插值的寬帶信號(hào)方位估計(jì)\\[J\\].聲學(xué)學(xué)報(bào).2002，27(6):513-517.



［4］Liu B，F(xiàn)ranaszek P A.A Class of Time-Varying Digital Filters\\[J\\].IEEE Trans.Circuit Theory，1969，CT-16(4):467-471.

作者簡(jiǎn)介

田 野 1972年出生，1996年獲哈爾濱師范大學(xué)物理教育專業(yè)學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為哈爾濱師范大學(xué)物理系講師、哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院碩士研究生。從事專業(yè)為信號(hào)與信息處理。

趙春暉 1965年出生，1998年獲哈爾濱工業(yè)大學(xué)測(cè)試計(jì)量技術(shù)及儀器專業(yè)博士學(xué)位，2000年獲“全國(guó)優(yōu)秀博士學(xué)位論文”。博士、教授，哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院博士生導(dǎo)師。從事專業(yè)為信號(hào)與信息處理。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。