粗糙歸整映射與整周模糊度解算
2008-04-12 00:00:00康榮雷舒蘭陳小平
現代電子技術 2008年9期
摘 要：在分析傳統的基于GNSS載波相位測量模型對整周模糊度解算的一般規律后，得出一般歸整映射的性質，進而提出粗糙歸整映射理論，用來解決整周模糊度浮點解歸整問題，提高了整周模糊度的搜索效率，一定程度上解決了載波相位實時測量的技術難題。
關鍵詞：GNSS；載波相位；整周模糊度；一般歸整映射；粗糙歸整映射
中圖分類號：P228.41 文獻標識碼：B
文章編號：1004-373X(2008)09-138-03
Rough Integer Mapping and the GNSS Integer Ambiguity Estimation
KANG Ronglei1，2，SHU Lan1，CHEN Xiaoping2
(1.School of Applied Mathematics， University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，610054，China;
2.Research Institute of Electronic Science and Technology，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu，610054，China)
Abstract：Based on the analysis of the traditional GNSS carrier phase measurement model and the rule of the integer ambiguity estimation，the quality of normal integer mapping is gained，then，the theory of rough integer mapping is proposed，the question of GNSS integer ambiguity estimation is solved，the searching efficiency of integer ambiguity is improved，the problem of GNSS carrier phase measurement in a certain extent is solved.
Keywords：GNSS;carrier phase;integer ambiguity;normal integer mapping;rough integer mapping
1 引 言
GNSS(Global Navigation Satellite Systems)的興起與發展，在各應用領域產生了巨大的經濟、社會效益。其用于測量、定位和導航的模型眾多，但只要涉及載波相位測量，都要面臨解算整周模糊度的難題。已有整周模糊度解算方法中，比較成熟的有4類：雙頻偽距法、模糊度函數法、最小二乘搜索法和模糊度協方差法。尤其是模糊度協方差法中的LAMBDA ( Least-squares AMBiguity Decorrelation Adjustment )[1]方法已經實際應用于多種基線測量模型中，在一定程度上解決了整周模糊度的解算問題。
但將LAMBDA方法用于單點載波相位測量時，使得搜索域較大，導致無法實現整周模糊度快速解算。為了減少搜索時間，提高整周模糊度解算效率，下面提出粗糙歸整映射理論，在模糊度浮點解到整數估計解的映射方面，改造LAMBDA方法搜索區域的拓撲結構，并利用粗糙整數運算提高搜索效率，為實現更短時間內解算整周模糊度奠定了理論基礎。
2 傳統整周模糊度解算
通過對各種載波相位測量模型的研究，將基于整周模糊度解算的GNSS模型從概念上歸納為下列線性化觀測方程[2]：
E{Φ}=[WTHX]A[WTBX]N+[WTHX]B[WTBX]b
(1)
求解模型式(1)的過程一般分為以下4個步驟[2]：
(1) 忽略N的整數特性，直接采用標準參數估計，得到整周模糊度浮點解N；
(2) 利用模糊度浮點解N計算相應的模糊度整數估計解N<。
(3) 確定整周模糊度的正確整數解N。
(4) 將整周模糊度的整數解N代入下列方程，獲得待估參數b的固定解。
解算整周模糊度的大部分時間都消耗在第(3)步的搜索上，而第(2)步中得到的估計解N<是搜索的基準。因此，本文重點研究解算整周模糊度的第(2)步與第(3)步，即從整周模糊度浮點解到整周模糊度整數估計解的映射函數入手，建立粗糙歸整映射，并提出粗糙整數及其運算性質，來提高整周模糊度的搜索效率。
3 粗糙歸整映射理論
通過上面的論述，可知解算整周模糊度需要建立一個歸整映射函數，使得整周模糊度的浮點解可以通過映射函數歸整為一個整數估計解，作為下一步搜索的基準。下面，通過對這種映射的歸納總結，提出了一般歸整映射與粗糙歸整映射理論。
3.1 一般歸整映射
從一個實數向量到一個整數向量的映射函數很多，均對應一個從n維實數空間到n維整數空間的映射f:[WTHX]R[WTBX]n→[WTHX]Z[WTBX]n。一旦歸整映射的定義確定，就可以得到映射函數的表達式為：
y=f(x) (x∈Rn，y∈Zn)
(2)
通過研究整周模糊度浮點解歸整到整數估計解的性質，確定一般歸整映射應該具有的性質，主要有以下4條[2]：
(1) 一般歸整映射為多對一映射，一般不存在逆映射。
(2) 所有歸屬域的并覆蓋整個n維實數空間。
[HTH]定義[STHZ]1[STBZ][HTSS] 對于每個整數向量y∈Zn和對應的集合Sy∈Rn，滿足下述關系:
Sy={x∈Rn|y=f(x)，y∈Zn}
(3)
就稱實數向量集Sy為整數向量y的歸屬域。
(3) 任意兩個歸屬域的交為空集(或存在取值概率為0的共同元素)。
(4) 一般歸整映射應滿足整數可加-可減性。
[HTH]定義[STHZ]2[STBZ][HTSS] 對于一般歸整映射f，對任意x∈Rn與z∈Zn，滿足關系：
f(x+z)=f(x)+zf(x－z)=f(x)－z
(4)
就稱一般歸整映射f滿足整數可加-可減性。
因此，只要構造出從實數域到整數域的映射，使其滿足上述4個性質，那么就稱其為一般歸整映射。
3.2 粗糙歸整映射
設定論域集合U=[WTHX]R[WTBX]n，V=[WTHX]Z[WTBX]n，且2V為論域V的冪集。這樣，一般歸整映射就是從論域U到論域V的映射。現在，拓展一般歸整映射范疇，構建一個從論域U到論域V的冪集2V的映射，記做歸整映射fR:U→2V。
用數學語言描述為：
x∈U，A∈2V，s.t A=fR(x)，and AV
現假定有一等價關系R對論域V進行了等價劃分，商集V/R表示等價關系R所對應的所有等價類(或稱作論域V上的分類)構成集合，［y］R表示包含元素y∈V的R的等價類。
現在，我們來探討在等價空間(V，R)上，對于任意集合AV與等價關系R，所定義的兩個集合：
R(A)={y∈V|［y］RA}R(A)={y∈V|［y］R∩A≠}
(5)
集合R(A)與R(A)分別稱為集合A在等價關系R下的下近似集和上近似集。
集合A的下近似集、上近似集也可以用下面的等式表述：
R(A)=∪［y］RA［y］RR(A)=∪［y］R∩A≠［y］R
對于論域V上的集合A在等價關系R下所定義的上近似集與下近似集：R(A)與R(A)，當且僅當R(A)=R(A)時，稱集合A為R下可定義集；當且僅當R(A)≠R(A)時，稱集合A為R下的不可定義集，即粗糙集。這里，我們把可定義集視為粗糙集的特殊情形。
[HTH]定義[STHZ]4[STBZ][HTSS] 歸整映射fR:U→2V，將論域U上的實數向量x∈U映射為論域V上的整數向量集合AV，即A=fR(x)。當集合A為論域V上等價關系R下的粗糙集時，稱歸整映射fR為粗糙歸整映射。由于fR將實數映射到論域V上的粗糙集，因此，也稱fR為粗糙化算子。
定理[STHZ]1 [STBZ]當等價關系R將論域V劃分為單元素集時，粗糙歸整映射將論域U上的實數向量x∈U映射為論域V上的可定義集A。
證明 若論域V被等價關系R劃分為單元素集，則每個等價類都只包含一個元素，即：
y∈V，［y］R={y}
那么，對于x∈U所對應的論域V中的集合A=fR(x)，其上近似集R(A)與下近似集R(A)的表述：
R(A)={y∈V|［y］RA}={y∈V|{y}A}
R(A)={y∈V|［y］R∩A≠}
={y∈V|{y}∩A≠}
={y∈V|{y}A}
[HT10.SS](7)
即，有R(A)=R(A)成立，集合A為可定義集。
定理[STHZ]2 [STBZ]當等價關系R將論域V劃分為單元素集，且粗糙歸整映射將論域U上的實數向量x∈U映射為論域V上單元素集A，粗糙歸整映射特殊化為一般歸整映射。
證明 由定理1可知，等價關系R將論域V劃分為單元素集時，集合A=fR(x)為可定義集。這里再次將集合A特殊化為單元素集，因此，歸整映射fR建立了從實數論域到整數論域的多對一映射關系，滿足一般歸整映射的性質要求一。可以驗證，這里所特殊定義的粗糙歸整映射也滿足其他3個性質要求，因此屬于一般歸整映射。
3.3 粗糙整數性質研究
為了快速解算整周模糊度，已建立起粗糙歸整映射fR，將整周模糊度浮點解x∈U，映射到整數論域V中的粗糙集A=fR(x)上，利用等價類［y］R來描述。為了進行整周模糊度在模糊度搜索域中的快速搜索解算，下面定義粗糙整數。
定義[STHZ]5 [STBZ]整數論域V在等價關系R所劃分的等價類集V/R，其元素為等價類［y］R，論域V中的粗糙集A的上、下近似集用等價類［y］R表示。定義等價類［y］R為論域V在R下的粗糙整數，等價關系R決定了粗糙整數的粗糙程度。
定義[STHZ]6 [STBZ]定義粗糙整數的數字表現形式：為了運算的方便，這里定義粗糙整數的數字表達形式，為粗糙整數內各整數元素的平均數直接下歸整。
用數學語言描述為：
4 粗糙歸整映射下的整周模糊度解算
上面較為詳細地介紹了粗糙歸整映射理論與粗糙整數的運算性質，為通過改造整周模糊度搜索域的拓撲結構，進而改進LAMDA方法奠定了理論基礎，下面給出基于此理論的整周模糊度搜索算法以及仿真結果。
4.1 算法步驟
結合傳統解算方法，構造粗糙歸整映射下的整周模糊度解算算法步驟如下：
(1) 建立載波相位觀測模型，利用最小二乘法估計整周模糊度浮點解與協方差陣；
(2) 利用LAMBDA方法，對協方差矩陣進行降相關處理，將搜索區域進行轉換。
(3) 將轉換后的模糊度浮點解實數向量x，通過粗糙歸整映射fR轉變成粗糙集A，包含所有整周模糊度的可能取值；
(4) 將粗糙集A的上、下近似集用粗糙整數來表示，快速定位時選擇下近似集，準確定位時選擇上近似集作為搜索空間；
(5) 利用序貫法進行整周模糊度搜索，這里的運算均采用粗糙整數運算法則；
(6) 通過減小粗糙整數的粗糙程度，不斷精確整周模糊度的取值；
(7) 利用Ratio檢驗條件，確定最終整周模糊度取值。
4.2 算法仿真及分析
仿真數據來源，利用某OEM板輸出的數據，數據采樣率為1 s，連續跟蹤4顆GPS衛星，觀測300歷元。采用粗糙歸整映射函數：fR(x)={y|x－3δ≤y≤x+3δ，y∈Zn}；初始粗糙程度為102(將102個連續整數視作一個粗糙整數)，每搜索一次后，粗糙程度相應減小；用于協方差陣降相關處理以及序貫搜索的算法都來源于文獻［1］。
通過Matlab仿真驗證，得到采用原始LAMBDA方法與粗糙歸整映射后的LAMBDA方法搜索效率的比較，見表1。
表1 兩種方法搜索效率比較
由此可見，粗糙歸整映射后，搜索區域的拓撲結構改變對整周模糊度的搜索效率提高較為明顯，而該方法解算整周模糊度的正確性評價是另一個可展開研究的方向。
5 結 語
粗糙歸整映射將整周模糊度浮點解映射為整數域中的粗糙集，改造了整周模糊度搜索區域的拓撲結構，結合粗糙整數運算與LAMBDA搜索方法，實現更短時間內整周模糊度解算，可基本滿足利用GNSS載波相位實時精準定位的要求。
參 考 文 獻
［1］Teunissen P J G.The Least-squares Ambiguity Decorrelation Adjustment:A Method for Fast GPS Integer Ambiguity Estimation\\[J\\].Journal of Geodesy，1995(70):65-82.
［2］Teunissen P J G.一個新的GNSS模糊度估計類\\[J\\].武漢大學學報信息科學版，2004，29(9):757-762.
［3］張文修，吳偉志，梁吉業，等.粗糙集理論與方法\\[M\\].北京：科學出版社，2004.
作者簡介 康榮雷 男，1984年出生，電子科技大學在讀碩士研究生。現從事衛星導航定位領域的研究工作。
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
