基于線性狀態反饋方法的Ｎａｄｏｌｓｃｈｉ混沌系統同步

摘 要：研究了一類新型混沌系統——Nadolschi系統的同步控制問題。首先為響應系統設計一個多變量線性狀態反饋控制器，進而將Nadolschi系統的同步控制問題轉化為誤差系統零平衡點的鎮定問題。然后，根據Lyapunov穩定性理論，得出使Nadolschi混沌系統達到漸近同步的充分條件。仿真結果驗證了所提方法的有效性，所設計的控制器具用結構簡單，易于實現等優點。

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關鍵詞：Nadolschi混沌系統；混沌同步；線性狀態反饋；漸近穩定

中圖分類號：TP18 文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)09-100-02

Synchronization of Nadolschi Chaotic System Based on Linear State Feedback Control

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MIAO Lihua1，KUANG Baoping1，ZHAO Yan2

(1.Information Technique Center，Shenyang Medical College，Shenyang，110031，China;

2.Information Science Engineering College，Northeastern University，Shenyang，110004，China)

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Abstract：Synchronization control of a class of new chaotic system named Nadolschi chaotic systems is studied.A multi-variables linear state feedback controller is designed for the response system.Then，the synchronization of chaotic system is converted into the stabilization of error systems at the zero equilibrium point.According to Lyapunov stability theory，the sufficient condition of synchronization of the Nadolschi chaotic systems is derived.Simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method.The designed controller is simple and convenient to implement.

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Keywords：Nadolschi chaotic system;chaotic synchronization;linear state feedback;asymptotic stability

1 引 言

自從Pecora和Carroll ^[1]在1990年發表具有代表性的混沌同步方面的文章以來，許多控制方法被應用到混沌同步控制中^[2-10]。其中，基于線性狀態反饋方法的控制器具有設計簡單，易于實現等優點，在混沌控制領域得到了廣泛的應用^[9]。文獻［9］對多種常見的混沌系統如Lorenz系統族、Rossler系統等采用線性狀態反饋控制器實現了混沌同步，這些混沌系統的共同特點是方程的右端只含有1個或者至多含有2個非線性項。1944年，Nadolschi研究剛體運動時引入一個混沌系統^[11]，其特點是方程右端含有3個非線性項。由于其結構的特殊性，文獻［9］提出的方法不可以直接應用到該系統中。

為此，本文針對Nadolschi混沌系統，提出一種新的線性狀態反饋同步方法，并根據Lyapunov穩定性理論，得出使Nadolschi混沌系統達到自相似結構同步的控制器增益取值范圍，該方法的有效性在數值仿真中得到了驗證。

2 問題描述

考慮一類混沌系統:



1=－x2x3+ax12=x1x3+bx23=x1x2/3+cx3

(1)



當參數取值為a=5，b=－10，c=－3.8，初值(x10，x20，x30)=(－12，5，－4)時，該系統存在圖1所示的奇怪吸引子，即為混沌系統，通常被稱為Nadolschi混沌系統。

圖1 Nadolschi系統的奇怪吸引子

本文的目標是，將式(2)作為響應系統，取式(1)為驅動系統，設計一個穩定的控制器使上述系統實現自相似結構漸近同步。



1=－y2y3+ay12=y1y3+by23=y1y2/3+cy3

(2)



其中參數取為a=5，b=－10，c=－3.8，初值取為(y10，y20，y30)=(－7，8，－11)。

3 線性狀態反饋控制器設計

在混沌同步中，用到的反饋方法主要有參數反饋和狀態變量反饋兩種。參數反饋是指利用反饋的誤差信號去調整系統的參數，使兩個混沌系統實現同步化。狀態變量反饋指的是反饋的信號直接加到響應系統的狀態變量上去，不改變系統的參數。狀態變量反饋可以有多種形式，可以是線性的，也可以是非線性的。這里，采用線性狀態變量反饋方法設計同步控制器。

引入狀態反饋控制的響應系統可以表示為:



1=－y2y3+ay1－k1(y1－x1)2=y1y3+by2－k2(y2－x2)3=y1y2/3+cy3－k3(y3－x3)

(3)



其中，k1，k2和k3為控制增益。

由驅動系統(式(1))和響應系統(式(3))構成的誤差系統可以表示為:



1=1－1=(a－k1)e1－x3e2－y2e32=2－2=x3e1+(b－k2)e2+y1e33=3－3=13x2e1+13y1e2+(c－k3)e3

(4)



顯然，誤差系統的原點（e1=e2=e3=0）是該系統的平衡點，因此，可以選取合適的k1，k2和k3的值，使誤差系統在零平衡點處漸近穩定，即混沌系統達到自相似結構同步。

4 Nadolschi混沌系統同步的充分條件

[HTH]定理[STHZ]1[STBZ] [HTSS]對于式(4)所示的誤差系統，當下列條件滿足時，誤差系統是漸近穩定的，即驅動系統和響應系統達到漸近同步。



k1>a+1(5)

k2>b+1(6)

k3>c+(13x2－y2)24+4y219

(7)



證明 選取如下的Lyapunov函數:



V=12(e21+e22+e23)

(8)



對其求對時間的導數，可得:

從上式可以看出，當條件式(5)、(6)和(7)滿足時，總是小于0的，根據Lyapunov穩定性理論，誤差系統(式(4))是漸近穩定的，證畢。

注釋：根據混沌系統具有狀態有界性，可以從仿真試驗中獲得每個狀態變量的取值范圍，即y1∈［－d1，d1］，y2∈［－d2，d2］，x2∈［－d3，d3］，因此，控制增益k3的取值范圍也可以隨之確定。

所以，根據定理1，可以找到適當的控制增益k1，k2和k3，使Nadolschi混沌系統達到自相似結構漸近同步。

5 仿真研究

為說明所提方法的有效性，下面進行仿真研究。系統參數分別取a=5，b=－10，c=－3.8。從系統的仿真試驗中可以得出d1=27，d2=23，d3=23。于是，根據定理1，可以取k1>6，k2>－9，k3>555.32使Nadolschi混沌系統達到自相似結構同步。這里取k1=10，k2=10，k3=600。

施加控制后的誤差系統狀態響應曲線如圖2所示。從仿真圖中可以看出，Nadolschi混沌系統可以很快地達到自相似結構漸近同步，達到了預期的控制目標。

圖2 誤差模糊系統狀態響應曲線

6 結 語

本文研究了Nadolschi混沌系統的同步控制問題，基于Lyapunov穩定性理論，設計了相應的線性狀態反饋控制器，使Nadolschi混沌系統達到自相似結構漸近同步。從仿真結果可以看出，該方法取得了良好的控制效果。

參 考 文 獻

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。