線性規劃在風險資產投資組合中的應用

一、問題的提出

假設市場上有n種資產（如股票，債券）供投資者選擇，第i種資產記為Si（i=1，2，，，n），某投資機構有數目為M的一筆資金可用作一個時期的投資。經分析評估，估算出這一時期購買Si的平均收益率為ri，并預測出購買Si的風險損失率為σi，且購買Si需支付交易費，費率為Si。考慮到投資種類越是獨立和分散，總的風險就越小，不妨假設用這筆資金購買的資產總體風險可用所投資的產品中風險最大的產品的風險來度量。另外假設同期銀行的存款（設為S0）利率是r0，且既無風險又無費率（σ0=0，p0=0）。

已知n=4的相關數據如表1所示。現在的最優化問題是為該投資機構設計一種風險投資組合方案，使得總體收益盡可能大，而總體風險盡可能小。

二、模型的構建

假設資金M中比例為αi的部分被用來購買資產Si，則購買資產Si的資金為M*αi，購買資產Si的花費為M*αi*pi，從而購買資產Si的最后凈收益為：

三、投資組合的有效邊界

最簡單的方法是采用計算機進行隨機模擬的方法，得出不同種類風險資產的投資組合及有效邊界。

首先，可以通過代入法觀察收益與風險，即E與-Q的關系；然后設定i，即用來投資的資產種類，用計算機隨機模擬的方法對αi取隨機數，經過數千次代入計算后得出E，-Q的數值；在以E為縱坐標，Q為橫坐標的坐標系上表示的圖形就是投資者可能選擇的投資組合集合，其中，同一風險水平上收益最高的投資組合連線就是投資者的有效邊界。

四、最優投資組合的確定

在有效邊界曲線上，每個點代表一個投資組合，具有不同的風險水平和相應的收益水平，風險越高，收益越大。那么投資者如何選擇投資組合呢？馬科維茨投資組合理論引入了無差異曲線，代表投資者的風險偏好。無差異曲線是在坐標系中凸向原點的不相交的曲線簇。曲線上的點無差異，距離原點越遠，效用值越高。代表某一投資者偏好的無差異曲線與有效邊界的切點就是投資者的最優投資組合。因此，模型求解的問題轉化為用數學方法表示無差異曲線的問題。

一般，無差異曲線可表示為E=U+bQ2，U為無差異曲線對應的效用，可以按照如下程序確定無差異曲線。

首先對某種資產和投資銀行存款進行組合，給出它的若干種投資比例；然后計算相應的收益和風險；最后投資者選出某種風險組合確定無差異曲線。

假設M=1，則對資產Si，有：

五、以表1數據演示模型求解

假定某投資者認為上表中把50%的資金投向S4，50%資金存銀行最符合他的愿望（中間型），則有

所以他的無差異曲線為：E=U+0.021Q2

且這一族曲線必定恰有一條同E、-Q曲線相切，切點處即是針對該投資者的最優投資組合。

以表1數據為例，切點Q=0.45%，再由線性規劃的單純形法算法得：

也就是說該投資者把27%的資金存入銀行，18%、30%、8%、17%的資金分別投入到S1～S4中，他的預期收益率是16.62%，而此時的風險損失率只有0.45%。

（作者單位：1.河北省教育考試院；2.河北師范大學數信學院）