七年級學生隨機觀念的調查

摘 要：通過問卷調查的方法，考察初一學生的隨機觀念，結果表明：初一學生已經具備了一定的處理隨機問題的能力，重點中學的學生顯著優于普通中學的學生，大多數學生對隨機現象規律性的理解存在困難；男女生無顯著差異。并在此基礎上，提出了一些教學建議。

關鍵詞：初一學生；隨機觀念；概率

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2008）08-0044-03

初中數學課程中，增加了許多統計與概率的內容，引起了人們的普遍關注。認識到概率和確定性數學一樣，是科學的方法，能有效地解決現實世界中的隨機問題，同時認識到概率的思維方式與確定性思維的差異，這就是隨機觀念[1]。概率是研究隨機現象規律性的學科，在思維方式和學習方式上與傳統代數、幾何不一樣，學生能否實現從確定數學到隨機數學的轉變呢？認知理論認為，影響學生學習的一個重要因素是學生原有的認知結構。肖內西指出，在教學概率的概念之前，必須了解學生現有的隨機觀念[2]。隨機包括兩方面內容：一方面，單一事件的不確定性和不可預見性；另一方面，事件在經歷大數次重復試驗中表現出來的規律性，即大數屬性。本文就是針對這兩方面的內容對學生進行調查，希望能對初中概率教學有所幫助。

一、研究方法

隨機選取曲靖市陸良縣聯中（重點中學）初一兩個班的學生108人，曲靖市西城中學（普通中學）初一兩個班的學生102人，共210人，其中男生116人，女生94人。這樣選取樣本可以分析不同知識水平和不同性別學生的隨機觀念。

問卷編制了三道投擲硬幣試驗的題目，其中問題1和問題2都是考察學生對隨機事件中不確定性的理解，只是第一題較簡單，第二題稍復雜一些，第三題考察學生對事件在經歷大數次重復試驗中表現出來的規律性的理解。

測試結束后，為了弄清學生書面回答的含義及如何解釋他們的真實想法，抽出約10%的學生參與訪談。

二、結果與分析

依次對學生回答的3個問題進行評述，表中的完全正確指選項和敘述的理由都正確，基本正確指選項正確但敘述的理由不全，不正確指選項錯誤。

問題1投擲一枚均勻的硬幣一次，結果是正面朝上，如果再投擲第二次，最有可能出現的情況是什么？

（a）正面更有可能出現；（b）反面更有可能出現；（c）正面和反面出現的可能性相同。

表中數據顯示：重點中學有79%的學生選擇了正確答案，普通中學也有55%的學生選擇了正確答案；男生和女生分別有69%和65%的正確率。x2檢驗結果表明：重點中學學生對問題1的回答顯著強于普通中學的學生，男生和女生之間無顯著差異。

問卷結果表明，不少學生選擇（b）答案，一學生闡述的理由是：投擲一枚硬幣，可能出現正面，也可能出現反面，它們的機會是一樣的，既然第一次出現了正面，那么第二次就應該出現反面。選擇（a）答案的一學生認為，只要按照第一次的方法重新投擲，結果就應該相同，還是正面。還有一些學生根據自己的親自試驗來判斷正反面。

問題2投擲一枚均勻的硬幣3次，下列哪一種選項發生的可能性最大？（H代表正面，T代表反面）

（a）HTH；（b）THT；（c）HTT；（d）THH；（e）HHH； （f）上述五個順序發生的可能性一樣大。

表中數據顯示：重點中學有61%的學生選擇了正確答案，普通中學只有39%的學生選擇了正確答案；男生和女生分別有53%和47%的正確率。x2檢驗結果表明：重點中學學生對問題2的回答顯著強于普通中學的學生，男生和女生之間無顯著差異。

問卷結果表明，學生選擇（a）、（b）、（c）、（d）的較多，而選擇（e）的較少。他們認為，交替出現的可能性更大，而三個都是H或T的情況幾乎不可能出現，有一部分學生甚至還認為（a）與（d），（b）與（c）是相同的結果。訪談中了解到有少數重點中學的學生能夠正確寫出一枚硬幣3次出現的所有可能結果，而普通學校的學生則幾乎不能。

從學生對問題1、問題2的回答和數據分析結果可以看出，學生在現實生活經驗的基礎上，已經產生了一些隨機觀念，比較容易接受隨機事件的不確定性，并且對不確定性的理解能力隨學生認知水平的提高而增強，但在這些憑直覺產生的觀念中，有一些是屬于錯誤的隨機觀念，會制約著學生對概率的學習。

問題3投擲3枚均勻的硬幣，至少出現2個正面，與投擲300枚硬幣，至少出現200個正面相比，哪一種情形發生的機會更大？

（a） 投擲3枚硬幣，至少出現2個正面； （b） 投擲300枚硬幣，至少出現200個正面； （c） 兩種情形發生的機會相等。

表中數據顯示：重點中學只有39%的學生選擇了正確答案，普通中學僅有35%的學生選擇了正確答案；男生和女生分別有35%和41%的正確率。檢驗結果表明：重點中學學生對問題3的回答與普通中學的學生無顯著差異，男生和女生之間無顯著差異。

問卷結果表明，很多學生選擇(c)，其主要理由為：投擲3枚硬幣至少出現2個正面的比例為2:3，而投擲300枚硬幣至少出現200個正面的比例也為2:3，故兩種情況的可能性相等。訪談中有學生認為既然每次試驗都是不可預測的，那么重復次數越多就越沒有規律。他們不相信大量重復試驗能夠發現隱藏在偶然現象背后的規律性，也就不明白極端的事件，如出現的硬幣全為正面，在小樣本中比在大樣本中更有可能發生。

從學生對問題3的回答和數據分析結果可以看出，僅靠平時一些零散的生活經驗，初一學生往往不容易理解不確定性背后會有規律可循，難以想象為何重復多次試驗有利于發現其規律性即大數屬性。大數屬性的理解對學生來說是一個難點，與學生現有的認知水平關系不明顯。

三、結論及啟示

（1）研究表明，初一重點中學與普通中學大部分學生都具有一定處理簡單隨機問題的能力，為進一步的概率學習奠定了基礎。因此，在初一年級進行概率概念教學是切實可行的。如果受到良好的指導或有恰當的教材，一般學生的能力是能夠掌握學校所教的概率知識的。

（2）研究表明，重點中學的學生比普通中學的學生具有更強的處理隨機問題的能力，這說明數學基礎知識對于概率的學習有很重要的影響，同時也反映出提高教學質量，培養學生的數學能力對豐富隨機觀念是有幫助的。學生開始學習一門具體課程、面對一項學習任務時，被喚起的先有學習經驗是豐富多樣、各不相同的，教師對學生的這種差異性應該有所考慮，同時也需要幫助學生認識到他們的先有經驗對他們的學習方法會產生影響，要幫助學生恰當地調整好自己的學習取向。教學中可以根據學生的實際情況實施因材施教、一綱多本，如重點中學的學生可選擇在初一上學期就進行概率概念的教學，而普通中學的學生可稍后再進行，其效果可能會更好。

（3）研究表明，重點中學與普通中學大多數學生對大數次重復試驗中表現出來的規律性理解存在困難，且差異不顯著，這說明學生把握大數屬性的能力不強。發現偶然現象背后的規律性是教學的一個難點，也是值得深入研究的一個問題。心理學研究表明，人的智力與能力發展具有年齡特征，這是螺旋式安排教學內容的主要依據。在教學中，如果學生的心理發展水平不夠，還沒有能力認識更多的細節、更本質的內涵，就應該根據學生發展的可能性，對學生提出適當的學習要求；而如果學生的能力已經達到了，就應該采取積極的措施推動學生的發展，更何況“學習能夠促進發展”。教學既要與學生思維發展水平相適應，又要盡最大努力將思維的“最近發展區”轉化為“現實發展水平”。

（4）研究表明，男、女生在三個問題的測試上不存在顯著性差異。因此，在教學中教師應消除男生優于女生的錯誤觀點，同時幫助女生樹立學好概率的信心。

參考文獻：

[1]數學課程標準研制組編寫．全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）解讀[M]．北京：北京師范大學出版社，2001：241～266.

[2]肖內西.概率統計的研究：反思與展望[A].見：格勞斯．數學教與學研究手冊[C]．上海：上海教育出版社，1999：577～639.