“或”命題的困惑之解惑

呂秀英　呂俊平

湖北省陽新縣高級中學 (435200)

江蘇省無錫市梅梁中學 (214092)

1.問題的提出

筆者曾在教輔資料中遇見不少關于“或”命題的矛盾說法.現在，文［1］指出對教輔資料或數學雜志上常見的如下兩個命題的不同說法及困惑：

(1)4的平方根是2或-2；

(2)實數的平方是正數或0.

文［2］認為命題(1)是復合命題，即p或q形式，p:4的平方根可能是2；q：4的平方根可能是-2.于是p真q真，p或q亦真.

文［3］認為命題(1)從實質出發可寫為“4的一個平方根是2或4的一個平方根是-2”.

困惑：如果“4的平方根是2或-2”是復合命題，那么如何理解構成復合命題“p或q”的原命題中是怎樣省略“可能”、“一個”等詞的?

文［2］仍然認為命題(2)是復合命題，理由同上，由p、q構成的“p或q”中，“可能”一詞因省略而成.

文［4］稱命題(2)為復合命題，是為了簡易邏輯中的稱呼相一致(意即這里“或”為邏輯聯結詞)，并指出：它不是由“所有”對“或”分配而來的，因為它可以寫成如下的形式：“一部分實數的平方大于0或一部分實數的平方等于0”.

文［5］指出命題(2)是簡單命題，不是復合命題，處理方法是回到最原始的命題定義中去，把語句中的“正數或0”看成整體.

困惑：同一問題，不同的觀點得到不同的結果，真是眾說紛紜，作為一名中學數學教師如何給自己的學生真實可信的答案?命題(1)，(2)是簡單命題還是復合命題，有一個客觀直接的方法判斷嗎?

2.問題的剖析

事實上，在文［2］、［3］、［4］、［5］幾種觀點中，筆者認為［5］的說法是真實可信的答案，現分析如下：

第一，對于“或”命題是否為復合命題，應考慮原命題中的“或”是否為邏輯聯結詞，我們不能一見“或”就以為含邏輯聯結詞而認為是復合命題.

全日制普通高級中學教科書數學(必修)第一冊(上)第25頁的引例是值得商榷的，其陳述如下：

“這里的‘或(指邏輯聯結詞)我們已經學過，像不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3}①.‘且(指邏輯聯結詞)我們也學過，像不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2-2且x<3}②.”

顯然，結合課本上下文意思，即指上述①、②中的“或”、“且”都是邏輯聯結詞，這樣就誤導了我們對邏輯聯結詞的判斷.實際上，①、②中的“或”和“且”都不是邏輯聯結詞，它們只分別表示不等式的解集是兩個集合的“并”和兩個集合的“交”.

第二，判斷“或”是否為邏輯聯結詞，必須正確理解數學的原始定義、概念、性質、法則等，學會三種數學語言(文字語言、符號語言、圖形語言)的互譯.

例如(1)中，什么叫做一個正數的平方根?由定義知，一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數，所以命題(1)中的“2或-2”必須看成一個整體，不能拆開，否則改變了原命題的本意，即錯誤地理解“正數平方根”可指一個.因為原命題“4的平方根是2或-2”為真，拆開后為p:4的平方根是2，q:4的平方根是-2，顯然，p、q都為假，于是p或q為假，這與原命題為真相矛盾.另外，根據平方根的定義，將文字語言轉譯成符號語言：4的平方根是x趚2=4，故“4的平方根是2或-2”等價于“x2=4的解集為{x|x=2或x=-2}”，這里“或”顯然不是邏輯聯結詞.同理，命題(2)中“或”也不是邏輯聯結詞，“正數或0”必須看成一個整體.

對于文［2］認為命題(1)可寫為p或q，p:4的平方根可能是2；q:4的平方根可能是-2.認為原命題省略“可能”一詞，“可能是”的含義為“是而非”(“不一定是”)，與“一定是”、“是”有區別，若將可能是”理解為“是”，由平方根定義知，p、q都為假，于是p或q為假，這與原命題為真相矛盾，為了說p、q為真，選擇將“可能是”理解為“不是”，這太牽強附會了.

對于文［3］認為命題(1)可寫為p或q，p：4的一個平方根是2，q:4的一個平方根是-2，認為命題省略了“一個”，試問“4的平方根”能說成“4的一個平方根”嗎?這不是省略問題，完全是兩碼事，實質上是偷換命題，所以根據正數平方根的定義，4的平方根指兩個，而說成4的一個平方根，這樣有勉強湊合說命題(1)為復合命題之嫌，而文［4］之觀點與文［3］類似.

3.困惑的詮釋

綜上所述，只有不誤解數學的定義、概念、性質和法則等，才能正確判斷命題的真假，只有不誤認為只要出現“或”即為邏輯聯結詞，并結合“p或q”復合命題的真值表加以分析，才能破解上述“或”命題的困惑.

一般地，如果含“或”的命題按作為邏輯聯結詞拆開后，“p或q”命題為假(真)命題，那么當“p或q”命題與原命題為真(假)相矛盾時，原命題中的“或”不是邏輯聯結詞，當與原命題為假(真)相一致時，原命題中的“或”是邏輯聯結詞.例如“實數的平方是正數或0”為簡單命題(真)，但“正數的平方是正數或0”是復合命題(真)，“實數的平方是負數或0”為復合命題(假).至此，文［1］提出的困惑就迎刃而解了.

參考文獻

［1］李承華，潘仁貴.“或”命題的困惑［J］.中學數學教學參考(增刊)，2007，8.

［2］秦慶堯，張德東.“簡易邏輯”教學中存在的問題［J］.中學數學教學參考，2002，9.

［3］李三平，羅增儒.簡單命題與復合命題的區別［J］.中學數學教學參考，2003，8.

［4］李三平，羅增儒.復合命題的構造［J］.中學數學教學參考，2003，9.

［5］謝全苗.“簡易邏輯”不簡單［J］.中學數學教學參考，2006，8.

［6］呂俊平.對新教材中一道例題和習題表述錯誤的糾正［J］.中學數學教學參考(增刊)，2007，8.