讓“美麗”的錯誤綻放“絢爛”的思維之花

朱建良

江蘇省太倉市實驗中學 (215400)

正確有效地指出學生錯誤是初中數學教學的基本內容之一，教師如果能以學生學習過程中出現的錯誤為教學資源，幫助學生從基本概念、基礎知識的角度剖析產生錯誤的原因，幫助學生找出錯誤的來源并發展該問題，找到更成熟的解法和一般結論，會收到事半功倍的效果.嘗試在典型的糾錯過程中讓學生暴露學生思維，以積極的態度去面對錯誤和失敗，通過糾錯回顧解題的思路，引導學生積極整理思維過程，尋找錯誤原因，尋求出知識點與數學思想方法上的漏缺.概括總結出一般方法和規律，使解題過程清晰，思維條理化、精確化和概括化.

1.剖析錯解，誘發認知沖突，深化對知識本質的理解

“水至清則無魚”，引導學生在回味疑惑、反思的境界中“去粗取精，去偽存真”，帶著如何解決這些問題的強烈愿望去遷移知識、分析思考，加深對知識本質的理解.

案例1 講授同底數冪的乘法，如何計算2a3?3a2?學生易出現三種答案：2a3?3a2=5a5,2a3?3a2=6a5,2a3?3a2=6a6，激發學生聯想多項式乘法，有理數乘法、有理數乘方等知識，有依據、有步驟地逐一剖析驗證，從不同角度去探求問題答案.

案例2 在講授一元二次方程時，板演例題，已知關于x的方程x2-(k-1)x+k+1=0的兩個實數根的平方和等于4，求實數k的值.出示錯解：設方程兩根為x1、x2,x1+x2=k-1,x1x2=k+1,x21+x22=4,即(x1+x2)2-2x1x2=4,∴(k-1)2-2(k+1)=4，即k2-4k-5=0,∴k1=5或k2=-1，在糾錯的熱烈討論中，剖析錯解中忽視了原方程有兩根的條件△≥0，當k=5時△<0，不符合題意，注意先解后取舍，幫助學生深刻理解一元二次方程的定義.

案例3 當0

通過剖析錯因，“去偽存真”幫助學生深刻理解概念的內涵和外延，糾錯形式喚起了學生解決問題的欲望，激發了學生的探究興趣，培養了學生的問題意識，拓展思路，提高學習效率，有效地促進了知識點間的融會貫通.

2.漏解探因，排除思維定勢，培養良好的思維品質

許多學生在解題時往往滿足于求出一解，導致不完整解題，引導學生探究分析出現漏解情況的原因，積累經驗，強化數學分類的嚴密性，分類方法的科學化，促使學生的思維水平有層次、有步驟地向更優化的方向發展.

案例4 為美化環境，在某小區內用30玬2的草皮鋪設一塊長為10玬的等腰三角形綠地，求這個等腰三角形綠地的另兩邊長.

錯解：(1)當AB為底邊時，設AB=10,AD=BD=5,S△ABC=12AB?CD=30,∴CD=6,∴AC=BC=61(玬).

(2)當AB為腰時，AB=AC=10,AD=AC2-CD2=8(玬),BD=2玬，∴BC=210(玬).

學生的上述解法雖然進行了分類，看似正確，仍漏了一種情況：當AB為腰且三角形為鈍角三角形時，AB=BC=10，AD=AB+BD=18，∴AC=62+182=610(玬).分類時應以高CD在△ABC的形內和形外兩個角度考慮.

案例5 若⊙O直徑AB=2，弦AC=2，弦AD=3，求S┥刃蜲CD(其中2S┥刃蜲CD

錯解：過O作OE⊥AC，OF⊥AD，OA=1，AE=22，AF=32,∠COD=30°,S┥刃蜲CD=π12.上述學生解題只考慮了一種情況，忽略了弦AC和弦AD在圓心的兩側的情況.同上法：

可求出∠COD=150°，從而求出S┥刃蜲CD=5π12.綜上所述，S┥刃蜲CD的面積為π12或5π12.

引導學生思考時，不能忽視圖形的位置或形狀，應尋找出它們的內在聯系，探索出一般規律，思維方式不能單一，對基本圖形的基本性質和圖形關系要熟練掌握，能正確運用.

3.反思出錯過程，重構知識，關注數學思想方法

在刨根究底的糾錯過程中，引導學生內化知識，自覺對自己的認知活動進行回味、思考、總結和調節，構建更清晰、穩定、條理化的知識結構，統化到蘊含在糾錯過程中的具有方向性、規律性的數學方法與思想.

案例6 已知x≠0，判斷x2+64x2是否有最小值，若有，請求出；若不存在，請說明理由.

錯解：學生看到最小值，聯想到二次函數，看所給的類型不是二次函數類型，認為不可能有最小值，陷入思維困境.運用數形結合思想可使本問題由復雜變簡單，由抽象變具體.因x2+64x2=x2+(8x)2，設P(x,8x)為圖像上一點到原點距離的平方，而動點P為y=8x與y=x兩圖像的交點，使|OP|2的值最小.由OP=4得,P(22,22)或P(-22,-22).

案例7 銳角△ABC中，BC=6,S△ABC=12，兩動點M、N分別在邊AB、AC滑動且MN∥BC，以MN為邊向下作正方形MPQN.設其邊長為x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y(y>0).

(1)△ABC中邊BC上高AD= ；

(2)當x= 時，PQ恰好落在BC上；(如圖1)

(3)當PQ在△ABC外部時(如圖2)，求y關于x的函數關系(注明x的取值范圍)，并求出x為何值時y最大，最大值是多少?

典型錯誤在解(3)問中，矩形MEFN的面積y=MN?NF，無法用x表示NF，思路受阻，陷入僵局.在考慮自變量x的范圍時，誤認為PQ在BC邊上移動，即0

在運動型幾何問題中，要善于從變中尋不變，正確找出不變的圖形結構或不變的數量關系，本題中有△AMN∽△ABC，MNBC=AGAD,x6=4-NF4,∴NF=-23x+4.y=x(-23x+4)=-23x2+4x=-23(x-3)2+6.當x=3時，y有最大值6.本題在(1)(2)問引導學生思維循序漸進，在變化過程中，始終有△AMN∽△ABC，對應高的比等于相似比.在變化過程中，PQ的長度始于(2)問中的特殊位置，∴2.4

引導學生養成糾錯質疑的習慣，加強思維嚴謹性訓練，對思維過程中的出現段落點，進行批判性回顧、分析和檢查，在反思糾錯的過程中培養學生運用數學方法(如觀察、猜想、化歸、構造函數等)解決問題的能力，同時通過剖析錯因，滲透一些常用的數學思想方法.

糾錯剖析的過程蘊涵著解決數學問題的擇優性，補缺完整性，既有對解決問題過程的探究又有結果分析的本質揭示，以充分暴露學生思維形式彌補認識觀點的缺損，讓學生思維一直處于積極、活躍的狀態，通過引導學生主動參與尋錯探因的糾錯活動，深入探討思維走入“歧途”的原因，豐富學生思維活動經驗，更有效地提高學生的解題能力和思維品質.