解橢圓問題的數學思想

張同舟

山東省棗莊市第九中學 (277100)

數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學知識的精髓，是將知識轉化為能力的橋梁.解決橢圓問題經常用到各種基本數學思想，掌握這些數學思想有利于提高學生分析問題和解決問題的能力.下面介紹數學思想在解橢圓問題中的應用，供教學時參考.

一、方程思想

橢圓問題，大部分題目都以二元二次方程形式給出，因此，根據題目中的其它數量關系再列出方程與原方程聯立，并運用方程(組)的有關性質求解，從而簡化解題過程，減少運算量.

例1 如圖1所示，直線l的方程為x=-p2，其中p>0.橢圓的中心為2+p2,0，焦點在x軸上，半長軸長為2，半短軸長為1，它的一個頂點為Ap2,0.問p在哪個范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線l的距離.

分析：根據題意，滿足條件的四個點既在橢圓上，又要在拋物線y2=2px上，于是考慮將拋物線與橢圓方程聯立組成方程組，通過研究方程組的性質求得p的范圍.

解：滿足題意的四個點在橢圓(x-2-p2)24+y2=1，又在拋物線y2=2px上，故符合題意的四點的充要條件是方程組(x-2-p2)24+y2=1 ①

y2=2px ②有四組不同的實數解.從①，②中消去y，得x2+(7p-4)x+p24+2p=0③，所以原方程組有四組不同的實數解，當且僅當方程③有兩個不等的正根.而這又等價于△=(7p-4)2-4(p24+2p)>0，

p24+2p>0，

7p-4<0.在p>0的條件下，解此不等式組，得0

故所求的p的取值范圍是0

評注 此題用方程的思想方法求解，思路清晰、過程簡捷.

二、函數思想

有些橢圓問題，可以先轉化成函數問題，然后利用函數的單調性、有界性等性質求解.

例2 已知橢圓x2a2+y2b2=1與x軸、y軸的正半軸分別相交于點A、B，當點P在第一象限內并在橢圓上變動時，求四邊形OAPB的面積S的最大值.

分析：設P點坐標為(x,baa2-x2)，四邊形OAPB的面積S=△OAP的面積+△OPB的面積=12b(b2-x2+x),作代換x=a玞osθ，利用三角函數的有界性可求S的最值.

解：設P(x,baa2-x2)，則S=S△OAP+S△OPB=12a?baa2-x2+12bx=12b?(a2-x2+x).因為0≤x≤a,所以設x=a玞osθ,θ∈［0,π2］，S=12ab(玸inθ+玞osθ)=22?ab玸in(θ+π4).當玸in(θ+π4)=1時，S有最大值22ab.

評注：在解圓錐曲線中的最值或參數的取值范圍問題時，通常轉化為函數問題，結合具體的函數性質求解，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡.如果函數解析式中含有參數，一般要根據定義域和參數的特點分類討論.

三、數形結合思想

解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中要善于將數形結合的思想方法用于對橢圓的性質和相互關系的研究中.

例3 已知橢圓x225+y29=1，點A(4，0)是它的右焦點，B(2，2)是橢圓內一點，M是橢圓上一動點，求|MA|+|MB|的最大值和最小值.

分析：左焦點A′(-4，0)，由橢圓定義知﹟MA|+|MA′|=10,而﹟MB|、獆MA′|、|AB′|在同一三角形中，利用三角形三邊之間的關系求最值.

解：橢圓左焦點A′(-4,0)，由橢圓定義可得|MA|+|MA′|=10.如圖3-1，﹟MA|+﹟MB|=|MA|+﹟MA′|+|MB|-|MA′|=10+|MB|-|MA′|≤10+|A′B|.當點M在BA′的延長線與橢圓的交點處時，|MA|+﹟MB|有最大值10+|A′B|=10+(2+4)2+(2-0)2=10+210.|MA|+﹟MB|=|MA|+|MA′|-|MA′|+|MB|=10-(|MA′|-|MB|)≥10-|A′B|.即當點M在A′B的延長線與橢圓的交點處時，|MA|+﹟MB|有最小值，10-|A′B|=10-210.

評注：有些橢圓問題，如果用代數方法求解比較復雜，可以考慮用幾何知識求解，其中“三角形兩邊之和大于第三邊”是求最值常用的定理.

四、分類討論思想

分類討論思想實際上就是一種邏輯劃分.在解決圓錐曲線問題時，按照某一確定的標準在比較的基礎上，將某一對象劃分為若干既有聯系又有區別的部分，然后分別解決，從而達到解決問題的目的.

例4 設F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，若P、F1、F2是一個直角三角形的頂點，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

分析：由橢圓定義知|PF1|+|PF2|=6，再由直角三角形中邊的關系可求出|PF1|、|PF2|的值，從而求出|PF1||PF2|的值.由|PF1|>|PF2|，可知點P在右半個橢圓上，因直角頂點未確定，故需討論.

解：由橢圓方程可得a=3,b=2，所以c=32-22=5.所以F2(5,0)，由于|PF1|>﹟PF2|，所以F1不是直角頂點.

(1)若P為直角頂點，則PF1⊥PF2，于是﹟PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(25)2=20 ①又根據橢圓定義|PF1|+|PF2|=6 ②，由①、②得|PF1|=4,|PF2|=2,所以|PF1||PF2|=2.

(2)若F2為直角頂點，則x軸⊥PF2，由此得P(5,±43)，所以|PF2|=43，則|PF1|=6-|PF2|=143，所以|PF1||PF2|=72.

綜上所述，得|PF1||PF2|的值為2或72.

評注：正確的進行討論的前提是正確分類，分類要符合互斥、無漏、最簡的原則，然后進行全面恰當的分情況討論.

五、化歸與轉化思想

轉化與化歸的思想方法是數學中最基本的思想方法.它的原則就是將不熟悉和難解的問題轉化為熟悉、易解或已經解決的問題，將復雜問題轉化為簡單問題.

例5 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸端點為A、B，若橢圓C上存在點Q，使∠AQB=120°，求橢圓C的離心率e的取值范圍.

分析：由題意橢圓上存在點Q(x,y)，使∠AQB=120°，利用以上條件可用a、b、c表示x,y，再利用不等式-a≤x≤a,-b≤y≤b得到含a、b、c的不等式，就可求出離心率e的取值范圍.

解：由題意得A(-a,0),B(a,0),設Q(x,y).由橢圓的對稱性，不妨設Q點在x軸上方，即y>0.因為玹an∠AQB=玹an120°=-3,猭〢Q=yx+a,k〣Q=yx-a,由兩直線夾角公式得yx-a-yx+a1+yx-a?yx+a=-3,所以3(x2+y2-a2)=2ay ①，又Q在橢圓C上，所以x2a2+y2b2=1 ②，由①②消去x得3(b2-a2)y2+2ab2y=0,y≠0,所以y=2ab23(a2-b2)=2ab23c2.又y≤b，所以2ab23c2≤b,所以2ab3c2≤1，4a2b2≤3c4,4a2(a2-c2)≤3c4,兩邊同除以c4,得3e4+4e2-4≥0，解得e2≥23,所以63≤e<1.

評注：數學大師波利亞強調：“不斷地變換你的問題”.解題過程就是合理地“轉化”問題的過程.

數學思想是數學的靈魂，因此，加強數學思想的學習，對培養學生的數學能力和優化學生的素質都有幫助.