圓錐曲線中的“相關弦”問題探究

蘇立標

浙江省杭州師范大學附屬中學 (310030)

數學教學離不開解題，但切不可就題論題，特別是高三的總復習階段，通過大量題目的“講練滲透”極易使學生產生“審美疲勞”、思維僵化.數學不應是“枯燥”、“單調”的代名詞，數學教學在展示靜態的、常態的思維的同時，更應該關注解題思維的動態過程.荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾說過：“數學教學方法的核心是學生的再創造”，數學教學不僅要讓學生獲得知識，更重要的是要讓學生學會思考、再創造和擁有探究問題的能力.本文主要利用一道數學高考試題引導學生進行探究、剖析，培養學生的創新思維和探究能力.

一、問題的再現

(2008年湖南省高考數學試題)若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點，弦AB(不平行于y軸)的垂直平分線與x軸相交于點P，則稱弦AB是點P的一條“相關弦”.已知當x>2時，點P(x，0)存在無窮多條“相關弦”，給定x0>2.

(1)證明：點P(x0,0)的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同；(2)略.

證明：(1)設AB為點P(x0,0)的任意一條“相關弦”，且設點A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)，則y12=4x1,y22=4x2，兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，因為x1≠x2，所以y1+y2≠0，設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M(x璵,y璵)，則k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=2y璵,從而AB的垂直平分線l的方程為y-y璵=-y璵2(x-x璵).又點P(x0,0)在直線l上，所以-y璵=-y璵2(x-x璵),而y璵≠0，于是x璵=x0-2.故點P(x0,0)的所有“相關弦”的中點的橫坐標都是x0-2.

點評：這是一道以圓錐曲線的中點弦為載體的高考試題，背景新穎，不落俗套，令人耳目一新；內涵豐富，值得探究，是考查學生在新情境下分析問題和解決問題能力的好題目.

二、問題一般化

對于拋物線y2=2px(p>0)，若弦AB是點P(x0,0)的一條“相關弦”，則當x0>2時，點P(x0,0)的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同，都是x0-p.

證明：對于拋物線y2=2px(p>0)，設AB為點P(x0,0)的任意一條“相關弦”，且設點A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)，弦AB的中點為M(x璵,y璵),則直線AB的斜率k〢B=y1-y2y212p-y222p=2py1+y2=py璵，所以AB的垂直平分線l的方程為y-y璵=-y璵p(x-x璵)，又直線l過點P(x0,0)，從而x璵=x0-p.

三、問題的引申與拓展

上述問題中所揭示拋物線的性質已經一清二楚了，那么很自然的問題是，在橢圓與雙曲線中是否也有類似的結論呢?所以我們可以再度引導學生對問題進行類比探究.

引申1 對于橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若弦AB是點P(x0,0)的一條“相關弦”，則點P(x0,0)的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同，都是x0e2(e為離心率).

證明：設AB為點P(x0,0)的任意一條“相關弦”，且設點A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1≠x2)，所以x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,設直線AB的斜率是k，弦AB的中點是M(x璵,y璵)，則k=-b2a2×x璵y璵，從而AB的垂直平分線l的方程為y-y璵=a2y璵b2x璵(x-x璵),又點P(x0,0)在直線l上，所以-y璵=a2y璵b2x璵(x0-x璵)輝璵=x0e2.

引申2 對于雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，若弦AB是點P(x0,0)的一條“相關弦”，則點P(x0,0)的所有“相關弦”的中點的橫坐標相同，都是x0e2(e為離心率).

高考試題鏈接 (1992年高考數學理科試題)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A、B是橢圓上的兩點，線段AB垂直平分線與x軸交于點P(x0,0)，證明：-a2-b2a

證明：由引申1可知，線段AB中點的橫坐標相同，都是x璵=x0e2，又因為-a

這兩道高考試題，可以說一脈相承，經典重現，揭示的都是圓錐曲線的中點性質問題.

引申3 對于橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若弦AB是點P(x0,0)的一條“相關弦”，AB的中點為M，則k㎡M猭㎝P=1-e2(e為離心率).

證明：設線段AB中點為M(x璵,y璵)，由引申1可知x璵=x0e2，所以k㎝P=y璵-0x璵-x0=y璵-0x璵-e2x璵=y璵(1-e2)x璵=11-e2×y璵x璵=11-e2×k㎡M，得證.

由一道看似平凡的高考試題引導學生進行探究性學習，逐本求源，往往能激發學生探究的熱情，可以通過變換視角、延伸拓展等手段，讓學生在探究中感悟到高考題是以不變之本，應萬變之題，克服學習上的思維定勢，拓寬思路，培養學生數學思想的靈活性、嚴密性和深刻性.