矩陣方法求一類數列的通項

袁曉靜

安徽師范大學 (241000)

矩陣是高中新課程中剛剛引入的高等代數中的部分內容，主要的是以二階矩陣為主，包括矩陣的運算、逆矩陣、特征值及特征向量等，作為矩陣的一個應用，本文介紹用矩陣方法來求一類數列的通項，下面以一道高考題為例來作出證明.

2007年遼寧卷第20題：

已知數列{a璶},{b璶}滿足：a1=2,b1=1，且a璶=34a﹏-1+14b﹏-1+1,

b璶=14a﹏-1+34b﹏-1+1,(n≥2)，求{a璶},{b璶}的通項.

解：不妨設x0=1

1,A=34,14

14,34，則有a璶

b璶=Aa﹏-1

b﹏-1+x0=AAa﹏-2

b﹏-2+x0+x0=A2a﹏-2

b﹏-2+Ax0+x0=A2?Aa﹏-3

b﹏-3+x0+Ax0+x0=A3a﹏-3

b﹏-3+A2x0+Ax0+x0=……=A﹏-1猘1

b1+A﹏-2?x0+A﹏-3獂0+…+Ax0+x0=A﹏-1猘1

b1+(A﹏-2+A﹏-3+…+A+E)x0.

下面我們來求A琻.

λE-A=λ-34-14

-14λ-34，由|λE-A|=0,可得(λ-34)2-116=0，即λ=1或12.

當λ=1時，有E-A=14-14

-1414，則λ=1的一個特征向量為1

1.

當λ=12時，有12E-A=-14-14

-14-14，則λ=12的一個特征向量為1

-1.

于是有11

1-1-1狝11

1-1=1

12，從而11

1-1-1狝琻11

1-1=1

12琻，所以

A琻=11

1-11

12琻11

1-1-1

=11

1-11

12琻1212

12-12=

12+12﹏+112-12﹏+1

12-12﹏+112+12﹏+1.

特別地當n=0時，A0=E,于是A﹏-2+A﹏-3+…+A+E=A﹏-2+A﹏-3+…+A+A0=∑n-2k=012+12﹌+112-12﹌+1

12-12﹌+112+12﹌+1=

n+12-12﹏-1猲-32+12﹏-1

n-32+12﹏-1猲+12-12﹏-1.

所以a璶

b璶=12+12琻12-12琻

12-12琻12+12琻2

1+

n+12-12﹏-1猲-32+12﹏-1

n-32+12﹏-1猲+12-12﹏-11

1=

n+12琻+12

n-12琻+12.

即a璶=n+12琻+12,b璶=n-12琻+12(n≥2).

一般地，若a璶=λa﹏-1+φb﹏-1+m

b璶=ka﹏-1+tb﹏-1+w(n≥2)，其中λ,φ,k,t,m,w∈R且λt-kφ≠0，及初始條件a1,b1,我們都可以用矩陣的方法進行巧妙的求解.