共線向量定理的一個推論的應用

李慧華

浙江省海鹽縣元濟高級中學 (314300)

在人教版高中數學新教材第二冊(下B)中介紹了空間向量的共線定理：

對空間任意兩個向量a,b(b摺0)，則a哂隻吖蠶叩某湟條件是存在唯一實數λ，使得a=λ b.

由上述定理易證它的一個推論：設㎡A擼㎡B呤瞧矯婺誆還蠶叩牧礁魷蛄浚則點A，B，P三點共線的充要條件是存在唯一的一對實數x,y，使得㎡P=x ㎡A+y ㎡B (x+y=1).

這個推論的應用主要集中在兩類題型中：一是直接用于證明三點共線問題，二是求比值問題.如果我們能夠用好這個推論，則可以在這兩類題中省去很多添輔助線和證明過程.

例1 在平行四邊形ABCD中，E為BC的中點，點F在BD上且滿足BFFD=12,求證：A，F，E三點共線.

證明：∵〣D=〣A+〣C,又∵〣D=3〣F,〣C=2〣E,∴3〣F=〣A+2〣E擼即〣F=13〣A擢+23〣E.∵13+23=1,∴A，F，E三點共線.

例2 如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C與平面BDC1交于點O，BD與AC交于點M.求證：C1，O，M三點共線.

分析：我們已經知道正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線A1C被平面BDC1和平面AB1D1三等分，因此A1OOC=21，我們可以利用這個結論來證明C1，O，M三點共線.

略證：∵〢1O=23〢1C,

∴〢O=〢A1+〢1O=〢A1+23〢1C=〢A1+23(〢1A+〢C)=13〢A1+23〢C.∵〢C=2〢M,〢A1=〢C1+〤1A1=〢C1-〢C=〢C1-2〢M,∴〢O=13(〢C1-2〢M)+43〢M=13〢C1擢+23〢M.∵13+23=1,∴C1，O，M三點共線.

例3 在△ABC中，點D，E分別在AB，BC上，且ADDB=21,BEEC=32,CD，AE交于點F，求AFFE及CFFD的值.

解：∵〢E=〢B+〣E=〢B+35〣C,①.又∵〢E=〢C+〤E=〢C-25〣C,②.①×2+②×3得5〢E=2〢B+3〢C,即〢E=25〢B+35〢C.設〢F=λ〢E,又〢B=32〢D擼代入上式得1λ〢F=25〢B+35〢C=25?32〢D+35〢C=35〢D+35〢C擼即〢F=3λ5〢D+3λ5〢C.由C，F，D三點共線，得3λ5+3λ5=1,∴λ=56.∴AFFE=51.同理，〤D=13〤A+23〤B.設〤F=│酞〤D,又〤B=52〤E擼代入上式得1μ〤F=13〤A+23〤B=13〤A+23?52〤E=13〤A+53〤E,即〤F=μ3〤A+5μ3〤E.由A，F，E三點共線，得μ3+5μ3=1,∴μ=12.∴CFED=1.

說明：以上的例子都是巧妙地利用了共線向量定理的推論進行解題的.雖然這些問題都可以用幾何方法解決，但利用向量方法可以避免添加輔助線的工作，從而使問題的解決思路變得統一、順暢.