一道題目的解法辯析與探討

張祥玉

四川省瀘縣二中 (646106)

題目 已知函數f(x)=ax2+bx+c,a>b>c,f(1)=0.

(1)求證f(x)的圖像與x軸有二不同交點；

(2)是否存在實數m，當f(m)=-a時，f(m+3)為正數.

為便于比較，先將原解答抄錄于下.

解：(1)由f(1)=0得a+b+c=0，又a>b>c,∴a>0,c<0.∴△=b2-4ac>0，即ゝ(x)的圖像與x軸有二不同交點；

(2)由a>0,f(m)=-a<0，設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2，則x1=1,x2=ca，且x1>x2,∴若存在m，且ca

∴|x1-x2|=|1-ca|,又b=-(a+c)

∴-2c,∴ca<-12,

∴-21，故f(m+3)>0.即存在這樣的m滿足條件f(m)=-a成立時，f(m+3)為正數.

上述解答是利用了二次函數的圖像，但忽視了a,b,c結成的關系，由于是用圖像，故難入微，由于忽視了a,b,c結成的關系，故難深入.

另解：(1)由已知得a+b+c=0,

a>b>c,∴b=-(a+c)0,∴△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0，即f(x)的圖像與x軸有二不同交點；

(2)a+b+c=0

a>b>c赼>-(a+c)>c赼>-(a+c)

-(a+c)>c2a>-c

a<-2c赼>-12c

a<-2c

-12c0,c<0,-2

由f(m)=-a得am2+bm+c=-a，即am2-(a+c)m+c+a=0，就是m2-(1+ca)m+(1+ca)=0,化為1+ca=m2m-1,在這方程中由△≥0，并結合(*)可得-1<1+ca≤0，∴-5+120.即存在這樣的m滿足條件f(m)=-a成立時，f(m+3)為正數.

上述另解用方程函數知識，雖然繁一些，但嚴密無誤，并可將問題一般化.

一般地f(m+p)=a(m+p)2+b(m+p)+c=a［(m+p)2-(1+ca)(m+p)+ca］=a［(m+p)2-m2m-1(m+p)+m2m-1-1］=a?3m2+2m-8m-1=a［p(m-1-1m-1)+p2-1］，即f(m+p)=a［p(m-1-1m-1)+p2-1］(-5+320時，f(m+p)為增函數，當p<0時，f(m+p)為減函數，∴f(m+p)的值域是：當p>0時為((p2-5p-1)a,(p2+5p-1)a);當p<0時為((p2+5p-1)a,(p2-5p-1)a).由p2+5p-1≤0解得03-52，或p<5-32時，f(m+p)>0.即這時存在這樣的m滿足條件f(m)=-a成立時，f(m+p)為正數.但當00就不成立.