圓錐曲線“類準線”的一個性質的推廣

馬　文

湖南省永順縣民族特殊教育學校 (416700)

文［1］介紹了圓錐曲線的“類準線”的一個性質，本文將文［1］的相關性質進行推廣.

性質1 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，不在橢圓E上的定點T(m,n)相應的定直線為l:mxa2+nyb2=1，過T和橢圓中心O的直線交橢圓E于A，B兩點，P是橢圓E上異于A，B的任一點，直線AP與過B的切線BC和定直線l分別相交于C，Q兩點，直線TQ交切線BC于點M.則M是線段BC的中點，PM是橢圓在P處的切線.

證明：如圖1，設P(x0,y0),A(-x1,-y1),狟(x1,y1)，則有nx1-my1=0.

直線AP的方程為(y0+y1)x-(x0+x1)?y=x0y1-x1y0,①，切線BC的方程為x1xa2+y1yb2=1,②，聯立方程①，②并注意到b2x21+a2y21=a2b2，得

C(a2y21x0-a2x1y1y0+a2b2x0+a2b2x1a2y1y0+b2x1x0+a2b2,

b2x21y0-b2x1y1x0+a2b2y0+a2b2y1a2y1y0+b2x1x0+a2b2)，于是BC的中點M(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2,a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2).

(1)當mx1≠0時，將方程①與直線l的方程聯立，可得

Q(a2［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1),

b2［a2(y0+y1)-m(x0y1-x1y0)］a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1)).注意到nx1=my1,b2x21+a2y21=a2b2，可得［a2n(y0+y1)+b2m(x0+x1)］x1=a2nx1(y0+y1)+b2m(x0+x1)x1=a2my1(y0+y1)+b2m(x0+x1)x1=m(a2y1y0+b2x0x1+a2y21+b2x21)=m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)，于是

Q(a2x1［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2),

b2x1［a2(y0+y1)-m(x0y1-x1y0)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)).從而x璔-x璏=a2x1［n(x0y1-x1y0)+b2(x0+x1)］m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)-a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2=

a2b2(x0+x1)x1+a2nx1(x0y1-x1y0)-a2b2m(x0+x1)m(a2y1y0+b2x1x0+a2b2)=x1m［a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m］,同理y璔-y璏=x1m［a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n］,故㎝Q=x1m(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m,a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n),

又㏕M=(a2b2(x0+x1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-m,

a2b2(y0+y1)a2y1y0+b2x1x0+a2b2-n),所以㎝Q=x1m?㏕M擼即㏕M擼㎝Q吖蠶擼從而T，M，Q三點共線，故TQ與切線BC的交點M是BC的中點.

(2)當mx1=0時，容易驗證TQ與切線BC的交點M是BC的中點.

當y0≠0時，注意到b2x20+a2y20=a2b2，于是直線PM的斜率

a2y1y20+b2x1x0y0-a2b2y1b2x1x20+a2y1x0y0-a2b2x1=

b2x1x0y0-b2x20y1a2y1x0y0-a2y20x1=-b2x0a2y0,從而直線PM的方程為y-y0=-b2x0a2y0(x-x0),即x0xa2+y0yb2=1，此方程表明PM是橢圓在點P處的切線.

當y0=0時，可求得PM的方程為x=±a，顯然PM是橢圓在點P處的切線.

綜上可知，性質1成立.

性質2 已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a,b>0)，不在雙曲線E上的定點T(m,n)相應的定直線為l:mxa2-nyb2=1，過T和雙曲線中心O的直線交雙曲線E于A，B兩點，P是雙曲線E上異于A，B的任一點，直線AP與過B的切線BC和定直線l分別相交于C，Q兩點，直線TQ交切線BC于點M.則M是線段BC的中點，PM是雙曲線在P處的切線.

性質3 已知拋物線E：y2=2px(p>0)，不在拋物線E上的定點T(m,n)相應的定直線為l:ny=p(x+m)，過T且與x軸平行的直線交拋物線E于點B，P是拋物線E上異于B的任一點，過P且與x軸平行的直線PQ與過B的切線BC和定直線l分別相交于C，Q兩點，直線TQ交切線BC于點M.則M是線段BC的中點，PM是拋物線在P處的切線.

性質2、性質3類似于性質1可證.此處從略.

參考文獻

［1］彭世金.圓錐曲線的“類準線”的一個性質.中學教研(數學)，2008(9).