圓錐曲線一個有趣的三圓性質

林新建

福建省漳州一中 (363000)

性質1 如圖1，拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點為F，過焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設弦AB、CD的中點分別為M、N，則線段MN恒過定點T(3p2，0)，且以AB、CD為直徑的兩圓公共弦中點的軌跡是以OT為直徑的圓.

證明：設AB的方程為：

x=ty+p2，代入y2=2px并整理得y2-2pty-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2=(ty1+p2)?(ty2+p2)=p24.所以M(pt2+p2,pt).將t換成-1t得N(pt2+p2,-pt).由兩點式得直線MN的方程為x-(t-1t)y=3p2.當y=0時，x=3p2，所以直線MN恒過定點(3p2,0).

以AB為直徑的圓M的方程為x2+y2-p(2t2+1)x-2pty-34p2=0 (1)，將t換成-1t得以CD為直徑的圓N的方程為x2+y2-p(2t2+1)x+2pty-34p2=0 (2)

(1)-(2)得兩圓公共弦直線方程為

(t-1t)x+y=0 (3) 又直線MN的方程為x-(t-1t)y=3p2 (4)

聯立(3)(4)，消去t得兩圓公共弦中點的軌跡方程為x2+y2-3p2x=0(y≠0)，其軌跡是以OT為直徑的圓.

性質2 如圖2，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b

>0)的焦點為F(c,0)(或F(-c,0)),過焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設弦AB、CD的中點分別為M、N，則線段MN恒過定點T(a2ca2+b2,0)(或(-a2ca2+b2,0))，且以AB、CD為直徑的兩圓公共弦中點的軌跡是以T為一個直徑端點的圓.

證明：設AB的方程為x=ty+c，代入x2a2+y2b2=1并整理得(b2t2+a2)y2+2b2cty-b4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=-2b2ctb2t2+a2,y1y2=-b4b2t2+a2,x1+x2=t(y1+y2)+2c=2a2cb2t2+a2,x1x2=a2c2-a2b2t2b2t2+a2.所以M(a2cb2t2+a2,-b2ctb2t2+a2).將t換成-1t得N(a2ct2b2+a2t2,b2ctb2+a2t2).由兩點式得直線MN的方程為x-a2a2+b2(t-1t)y=a2ca2+b2.當y=0時，x=a2ca2+b2，所以直線MN恒過定點(a2ca2+b2,0).以AB為直徑的圓M的方程為x2+y2-2a2cb2t2+a2x+2b2ctb2t2+a2y+a2c2-b4-a2b2t2b2t2+a2=0 (1)

將t換成-1t得以CD為直徑的圓N的方程為x2+y2-2a2ct2b2+a2t2x-2b2ctb2+a2t2y+a2c2t2-b4t2-a2b2b2+a2t2=0 (2 )

(1)-(2)得兩圓公共弦直線方程為

2a2x+2(a2+b2)1t-1ty-(2a2+b2)c=0 (3) 又直線MN的方程為

x-a2a2+b2(t-1t)y=a2ca2+b2 (4)

聯立(3)(4)，消去t得兩圓公共弦中點的軌跡方程為(x-a2ca2+b2)［x-(2a2+b2)c2a2］+y2=0，其軌跡是以T為一個直徑端點的圓.

性質3 如圖3，雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦點為F(c,0)(或F(-c,0))，過焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設弦AB、CD的中點分別為M、N，則線段MN恒過定點T(a2ca2-b2,0)(或(-a2ca2-b2,0)),且以AB、CD為直徑的兩圓公共弦中點的軌跡是以T為一個直徑端點的圓.

證明：設AB的方程為x=ty+c,代入x2a2-y2b2=1,并整理得(b2t2-a2)y2+2b2cty+b4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則有y1+y2=-2b2ctb2t2-a2,y1y2=b4b2t2-a2,x1+x2=t(y1+y2)+2c=-2a2cb2t2-a2,x1x2=-a2c2-a2b2t2b2t2-a2.所以M(-a2cb2t2-a2,-b2ctb2t2-a2).將t換成-1t得N(-a2ct2b2-a2t2,b2ctb2-a2t2).由兩點式得直線MN的方程為x-a2a2-b2(t-1t)y=a2ca2-b2.當y=0時，x=a2ca2-b2,所以直線MN恒過定點(a2ca2-b2,0).以AB為直徑的圓M的方程為x2+y2+2a2cb2t2-a2x+2b2ctb2t2-a2y+-a2c2+b4-a2b2t2b2t2-a2=0 (1)將t換成-1t得以CD為直徑的圓N的方程為x2+y2+2a2ct2b2-a2t2x-2b2ctb2-a2t2y-a2c2t2-b4t2+a2b2b2-a2t2=0 (2)

(1)-(2)得兩圓公共弦直線方程為2a2x+2(a2-b2)1t-1ty-(2a2-b2)c=0 (3)

又直線MN的方程為

x-a2a2-b2(t-1t)y=a2ca2-b2 (4)

聯立(3)(4)，消t得兩圓公共弦中點的軌跡方程為(x-a2ca2-b2)［x-(2a2-b2)c2a2］+y2=0，其軌跡是以T為一個直徑端點的圓.