例談數形結合在解證不等式中的作用

賀樹泳

江西省蓮花中學 (337100)

抽象性是數學最顯著的特點之一，抽象的程度越高，它所概括的范圍就越大，但另一方面也給數學蒙上了一層神秘的面紗，這也是學生感到數學難學的重要原因.尤其是對不等式的求解和證明，思維切入困難，放縮的目標不明確，特別對含參數不等式的證明更加難于把握. 因此，恢復和發現抽象的數量關系之幾何形象，運用數形結合的思想，將不等式證明題中的 抽象性復雜性轉化為直觀的幾何求解或證明，既能幫助學生快速找到解題途徑，又可以發展他們的思維并激發其濃厚的興趣，從而使學生達到活用數學思想方法來分析和解決問題的高境界.本文擷取幾例來說明數形結合在解證不等式中的作用.

一、利用數形結合的直觀性，增強解題中的求簡意識

有些不等式的求解問題，雖能解決但過程繁瑣，但根據問題的條件和結論的內在聯系數形結合，往往能獲得簡單的解題思路.

例1 已知集合A={x|玪g(x2-2ax+a2+1)<玪g2},B={x|(x-a)(x-2)>0}，若A∪B=R，求a的范圍.

析解：按常規必須分a<2,a=2,a>2分別求出B集，再利用A∪B=R求出a的范圍，最后求這些范圍的并集，運算太繁，若用數形結合可以避開對a的討論，得到簡解.

解：∵A={x|a-10,如圖1，要使A∪B=R其等價于f(a-1)>0

f(a+1)>0-(a-3)>0,

a-1>0,

∴1

例2 已知函數f(u)=u2+au+(b-2)，其中u=x+1x(x∈R,x≠0)，若a,b是可使f(u)=0至少有一實數根的實數，求a2+b2的最小值.

分析：該題如看作u的一元二次方程，利用實數根的分布知識來求解，過程較繁，但利用數形結合的知識，把a,b看作變量，則要容易得多.

解：∵u2+au+(b-2)=0，且|u|≥2，即au+b+u2-2=0①，而所求a2+b2可看作直線①上的點(a,b)與原點(0,0)的距離的平方.根據點到直線的距離公式d=|u2-2|u2+1，

∴a2+b2=d2=(u2-2)2u2+1=(u2+1)2-6(u2+1)+9u2+1=u2+1+9u2+1-6,∵u2≥4,且f(u)=u2+1+9u2+1在u2≥4上單調遞增，∴a2+b2≥45.∴a2+b2的最小值為45.

二、利用式子特征，巧妙構造圖形，運用數形結合的思想解決問題，提高學生分析和解決問題的能力

有些數學式子本身，如果加以認真分析，既能分析式子的特征，又能揭示其幾何意義，這時數形結合應該是一種很好的思想與方法.

例3 比較玪og20052004與20032004的大小.

析解：該題三個連續的數通過對數與分式，巧妙地連在一起，按常規先化為常用對數，再作差比較大小，計算繁難不說，也看不出其巧妙之處，現利用數形結合，先作出對數曲線y=玪og2005獂，如圖2，過兩點A(1，0)，B(2005，1)，設直線x=2004交曲線和AB于C(2004，y0)，D(2004，y1)，由對數曲線的凸性可知C點在D點之上，所以y0>y1，即玪og20052004>20032004.

例4 設a,b,c皆為正數，且a+b+c=1,求證：1a+1b+1c≥9.

分析：該題的證法有多種，考慮其對稱美、輪換美、和諧美特點，利用數形結合構造曲線y=1x可以得到一種簡捷的幾何證法.

證明：在曲線y=1x上任取三點A(a,1a),B(b,1b),C(c,1c)，則△ABC的重心G的坐標為x0=13(a+b+c),y0=13(1a+1b+1c)，如圖3，由曲線y=1x的凹性可知，G在曲線的上方，故有y0>1x0，代換后得證.

三、運用換元、設參等構造手法活用數形結合的思想，發掘知識的內在聯系，從而提高學生的數學素質

有些數學問題，如能運用圖形直觀地研究數、式，從而培養學生聯系和轉化的觀點，能全面提高數學素質.

例5 證明：2t+4+1-t≥3.

分析：該題可視t為參數引入參數方程，消t轉化為直線和曲線有公共點的問題來證明.

證明：顯然t∈［-2,1］,設x=1-t,

y=2t+4,得x23+y26=1(0≤x≤3,0≤y≤6)，如圖4，表示橢圓x23+y26=1在第一象限的一段弧(包括端點).不等式左邊U=x+y表示平行直線系，所以當直線系過點A(3，0)時直線和曲線有公共點，且U有最小值，U﹎in=3.∴2t+4+1-t≥3.

例6 已知a>0,2b>a+c，求證b-b2-ac

分析：待證的結論易讓人聯想到求根公式，所以構造二次函數f(x)=ax2-2bx+c，利用數形結合，從而獲得證題的一種巧妙方法.

證明：設f(x)=ax2-2bx+c，由已知a>0,且2b>a+c,所以f(1)=a-2b+c<0.=∴f(x)的大致圖像右圖5，即開口向上，與x軸有兩個不同的交點(x1,0),(x2,0)，且x1<1

四、利用數形結合的思想解決目標函數的最值問題，從而更進一步深化知識，提升能力

例7 設等差數列{a璶}的前n項和為S璶，若S4≥10,S5≤15，求a4的最大值.(08年四川高考題)

析解：設{a璶}首項為a1，公差為d，則有2a1+3d≥5,

a1+2d≤3，∴a4=a1+3d≥5-3d2+3d≥5+3d2,又a4=a1+3d≤3+d,∴5+3d2≤a4≤3+d,∴d≤1,∴a4≤4,∴a4的最大值為4.

但上述解法利用了放縮，學生不容易想到.如果利用簡單的線性規劃知識，作出可行域易知，求a4的最值，如圖6，只要將初始直線a1+3d=0平移到過點A(1，1)時達到(a4)┆玬ax=1+3×1=4.

總之，數形結合的思想在數學教學和解題過程中的作用顯而易見，其功能有待不斷挖掘，在當前提倡素質教育，培養高素質人才的時候，更應加強各種數學思想的滲透，培養學生良好的數學思維品質.