一道數學奧林匹克試題的引申

谷煥春

山東聊城大學數學科學學院 (252059)

第16屆亞太地區數學奧林匹克(2004年3月)壓軸題為：

證明：對任意正實數a,b,c，均有(a2+2)?(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).

《數學通訊》2004年第11期刊登了一種證明方法，此種方法首先采用降冪的策略，利用柯西不等式把所證不等式左邊六次多項式的問題放縮為三次多項式的問題，然后利用基本不等式繼續放縮，最后采用作差法，利用抽屜原則并經過較復雜的計算得到了所要證明的不等式.筆者通過對本題進行細致研究，得到本質性的證明方法，并對字母個數及冪指數進行推廣.

引理 h璱>-1(i=1,2,…，n)，且h璱h璲≥0)(1≤i,j≤n)，則∏ni=1(1+h璱)≥1+∑ni=1h璱.

證：用數學歸納法即可.(略)

引申 設x璱≥0(i=1,2,…,n+1)且x琻璱-1(i=1,2,…，n)同號，則∏n+1i=1(n+x琻璱)≥(n+1)琻∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).

證明：由引理得∏ni=1(n+x琻璱)=∏ni=1［n+1+(x琻璱-1)］=(n+1)琻∏ni=1(1+x琻璱-1n+1)≥(n+1)琻?［1+1n+1∑ni=1(x琻璱-1)］=(n+1)﹏-1［n+1+∑ni=1(x琻璱-1)］=(n+1)﹏-1(1+∑ni=1x琻璱),于是

∏n+1i=1(n+x琻璱)=［∏ni=1(n+x琻璱)］(n+x琻﹏+1)≥(n+1)﹏-1(1+∑ni=1x琻璱)(n+x琻﹏+1)=(n+1)﹏-1(n+x琻﹏+1+n∑ni=1x琻璱+∑ni=1x琻璱x琻﹏+1)=(n+1)﹏-1?｛∑n+1i=1x琻璱+∑ni=1x琻璱+［∑ni=1(x琻璱x琻﹏+1+1)+(n-2)?∑ni=1 x琻璱］｝，由于∑1≤j≠i≤n+1x琻璲≥n∏1≤j≠i≤n+1x璲(i=1,2,…，n+1)，所以將以上n+1個不等式左右兩邊分別相加，得n∑n+1i=1x琻璱≥n∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲),即∑n+1i=1x琻璱≥∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).記x0=x璶,則x琻璱x琻﹏+1+1+∑1≤j≤nj≠i-1,ix琻璲≥n∏1≤j≤n+1j≠i-1x璲(i=1,2,3…，n)，

將以上n個不等式左右兩邊分別相加，得∑ni=1(x琻璱x琻﹏+1+1)+(n-2)∑ni=1x琻璱≥

n∑ni=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲),于是∏n+1i=1(n+x琻璱)≥

(n+1)﹏-1［∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲)+n∏nj=1x璲+

n∑ni=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲)］=(n+1)琻∑n+1i=1(∏1≤j≠i≤n+1x璲).

另外，注意到(a2-1)(b2-1)?(b2-1)(c2-1)?(c2-1)(a2-1)=［(a2-1)(b2-1)(c2-1)］2≥0，所以a2-1,b2-1,c2-1中必有兩個同號，用類似的方法可得到原題的證明，也就是本文開始提到的本質證法.

參考文獻

［1］馮志剛.2004年亞太地區數學奧林匹克.數學通訊，2004年第11期.