一個分式不等式的聯想

有名輝

浙江省杭州市安吉路實驗學校 (310006)

瓦西列夫不等式［1］敘述如下：

設a,b,c>0,a+b+c=1，則有a2+bb+c+b2+cc+a+c2+aa+b≥2.(1)

將此不等式進行聯想類比，并推廣到多元情形，得到

結論1 設x1,x2,…，x璶>0,n∈N,n≥2，則∑x12+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶≤x1+x2+…+x璶.(2)

其中記號“∑”表示循環和.

證明：x12+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶=

x12x2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2+x22x2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶+x2+x3+…+x璶(n-1)2-x2+x3+…+x璶n-1≥x1+x2+…+x﹏-1猲-1-x1+x2+…+x璶n-1.

采用同樣的方法處理(2)式左邊的其他項，可得

∑x21+x22+…+x2﹏-1獂2+x3+…+x璶≥

2∑x1+x2+…+x﹏-1猲-1-∑x2+x3+…+x璶n-1=x1+x2+…+x璶.當且僅當x1=x2=…=x璶時上式等號成立.類似結論1的證明，還可以得到

結論2 設x1,x2,…，x璶>0,n∈N,n≥2，1≤i≤n，且當n+i-2>n時，取x﹏+1=x1,…，x﹏+i-2=x﹊-2，則

∑x2璱+x2﹊+1+…+x2﹏+i-2獂2+x3+…+x璶≥x1+x2+…+x璶.

結論1和結論2中，不等式左邊每一項的分母和分子的“缺項”都是一項，現作進一步推廣.

結論3 x1,x2,…,x璶>0,n∈N,n≥2,i,j,k∈N,0≤i,j,k≤n-1；且當i+n-j-1>n時，取x﹏+1=x1,…,x﹊+n-j-1=x﹊-j-1，則∑x2﹊+1+x2﹊+2+…+x2﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k(x1+x2+…+x璶),(3)，當且僅當x1=x2=…=x璶時上式等號成立.

證明：類似結論1，也可參照以下結論4的證明，在此略去過程.

結論4 設x1,x2,…,x璶>0,n,m∈N,n≥2,m≥2,i,j,k∈N,0≤i,j,k≤n-1，且當i+n-j>n時，取x﹏+1=x1,…,x﹊+n-j=x﹊-j,則∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k?∑ni=1x﹎-1璱.(4)

證明：由于x琺﹊+1獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶=(m-1)x琺﹊+1(m-1)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)+

(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺-

(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺≥

mmx﹎(m-1)﹊+1(m-1)琺(n-k)琺-

(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺=mx﹎-1﹊+1(m-1)(n-k)-(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺.

類似的處理可得

x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥

m(x﹎-1﹊+1+x﹎-1﹊+2+…+x﹎-1﹊+n-j)(m-1)(n-k)-

(n-j)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺,所以

∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥

∑m(x﹎-1﹊+1+x﹎-1﹊+2+…+x﹎-1﹊+n-j)(m-1)(n-k)-

∑(n-j)(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1(m-1)(n-k)琺=

m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)(m-1)(n-k)琺∑(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1.(5)

當m≥2時，f(x)=x﹎-1是一個下凸函數，由下凸函數的獼enson不等式［2］可得(x﹌+1+x﹌+2+…+x璶)﹎-1≤(n-k)﹎-2(x﹎-1﹌+1+x﹎-1﹌+2+…+x﹎-1璶).(6)

把(6)式代入(5)式，可得

∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥

m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)(m-1)(n-k)2∑(x﹎-1﹌+1+x﹎-1﹌+2+…+x﹎-1璶)=m(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)-(n-j)∑ni=1x﹎-1璱(m-1)(n-k)=n-jn-k∑ni=1x﹎-1璱.結論3證畢.

在(4)式中，對∑ni=1x﹎-1璱再用一次下凸函數的獼enson不等式，可得

∑x琺﹊+1+x琺﹊+2+…+x琺﹊+n-j獂﹌+1+x﹌+2+…+x璶≥n-jn-k(∑ni=1x璱)﹎-1猲﹎-2,(7)

此即為文［3］中定理1的一個推廣.

結論4中，賦予m,n,j,k不同的值時，可以得到很多形式對稱的不等式.其中有很多在一些文獻或競賽試題出現過.例如

取j=k=n-1,i=n-2,m=2，則結論4化為∑x21x2≥x1+x2+…+x璶，此為1984年全國高中數學競賽題.

取j=n-1,k=1,i=0,m=2，并記x1+x2+…+x璶=s，則結論4化為∑ni=1x2璱s-x璱≥sn-1,此為《數學通報》1994年第11期數學問題第925題.特別地，若s=1，即為《數學通報》1993年第7期數學問題第845題.

取j=n-1,k=i=n-2，m=2，則結論4化為∑x21x1+x2≥12∑ni=1x璱，此為1991年亞太地區數學競賽試題，也是第24屆全蘇數學奧林匹克試題.特別地，取n=3，則為《數學通報》1995年第4期數學問題第946題.

取j=n-1.k=1,i=0,m=2，則結論4化為∑x31x2+x3+…+x璶≥x21+x22+…+x2璶n-1.即為《數學教學》1996年第5期問題第405題.特別地，此式中取n=4,則

∑x31x2+x3+x4≥x21+x22+x23+x243≥

x1x2+x2x3+x3x4+x4x13,即為第31屆IMO預選題.

(7)式中，取j=n-1,k=1,i=0,m=3，并記x1+x2+…+x璶=s，則∑ni=1x3璱s-x璱≥s2n(n-1),這是《數學通報》2007年第2期問題第1660題的推廣.

取j=k=i=n-3,m=3，則結論4化為∑x31+x32+x33x1+x2+x3≥∑ni=1x2璱.此為文［4］所得結論.類似的特例在其它一些數學雜志和數學競賽中還有很多，限于篇幅，在此不再贅述.除此之外，結論4對一些命題的證明也會帶來方便.如

例1［5］ 設α是銳角，求證玞os3α玸inα+玸in3α玞osα≥1.

證明：由結論4，可得玞os3α玸inα+玸in3α玞osα≥玸in2α+玞os2α=1.同理可證《數學通報》1994年第9期問題第912題：

例2 設α，β，γ是銳角，玸in2α+玸in2β+玸in2γ=1,求證玸in3α玸inβ+玸in3β玸inγ+玸in3γ玸inα≥1.

參考文獻

［1］李學軍(戎松魁譯).一組優美的不等式.數學通訊，2006，21.

［2］T?M.菲赫金哥爾茨.微積分學教程.北京：人民教育出版社，1957.

［3］季明銀.一類不等式的推廣.數學通報，2008.1

［4］楊銀福，楊志丹.一個不等式的變形及推廣.數學通訊，2000.6.

［5］曾思江，劉中華.用基本不等式解題的思維過程淺析.湖南數學通訊，1996，2.