從圓到圓錐曲線的一條“命題鏈”的探究

王順耿　譚偉健

廣東省佛山市高明區(qū)第一中學(xué) (528500)

現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)教材中，圓與圓錐曲線是分章設(shè)置的.事實(shí)上，我們知道圓可以看作是特殊的橢圓(離心率e=0)，從坐標(biāo)伸縮變換看，圓壓一壓成橢圓，橢圓也可拉成圓.從圓錐曲線是平面截圓錐曲面所得的交線這個(gè)角度看，圓與圓錐曲線也有著內(nèi)在的“親緣關(guān)系”，應(yīng)該是同一家族中的成員，這一事實(shí)提醒我們，它們間一定存在著某種必然的聯(lián)系，下文我們以圓的相交弦定理為例，用聯(lián)系、發(fā)展的眼光來探究、揭示它們間存在的關(guān)系和規(guī)律.

引子

圓的相交弦定理是關(guān)于過圓內(nèi)一定點(diǎn)的兩相交弦，其端點(diǎn)與交點(diǎn)間所成線段長成比例(比例式)或乘積相等(等積式)的問題.在初中平面幾何中，利用相似三角形來證明非常簡單，為方便聯(lián)系圓錐曲線，我們把有關(guān)圓的相交弦定理放到直角坐標(biāo)系中來考察.聯(lián)想直線參數(shù)方程x=x0+t玞osθ

y=y0+t玸inθ中參數(shù)t的幾何意義，即|t|表示直線上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離，顯然線段長度的乘積問題利用直線的參數(shù)方程解之比較方便.

如圖1，設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是圓x2+y2=a2

內(nèi)弦AB與CD的交點(diǎn)(有a2-(x20+y20)>0)，弦AB、CD所在直線的傾斜角分別為α，β(α≠β)，則直線AB、CD的參數(shù)方程分別為x=x0+t玞osα

y=y0+t玸inα和x=x0+t玞osβ

y=y0+t玸inβ(t均為參數(shù)).將直線AB的參數(shù)方程x=x0+t玞osα

y=y0+t玸inα(t為參數(shù))代入圓方程x2+y2=a2,得t2+2(x0玞osα+y0玸inα)t+x20+y20-a2=0，由韋達(dá)定理得t1?t2=x20+y20-a2，而|AP|?|BP|=﹟t1|?|t2|=|t1t2|=|x20+y20-a2|=a2-(x20+y20).將直線CD的參數(shù)方程x=x0+t玞osβ

y=y0+t玸inβ(t為參數(shù))代入圓方程x2+y2=a2,同理可得|CP|?﹟DP|=a2-(x20+y20)，故|AB|?|BP|=|CP|?|DP|，圓的相交弦定理得證.

說明：由上述結(jié)果可知，圓內(nèi)弦被定點(diǎn)P分割成的兩線段長的積與弦所在直線的傾斜角無關(guān)，只與定點(diǎn)P的位置有關(guān)，都等于a2-(x20+y20).

思考1 當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)移至圓x2+y2=a2外(a2-(x20+y20)<0)(圖2)，相交弦變成兩條相交割線，由直線的參數(shù)方程可得|PA|?﹟PB|=x20+y20-a2,|PC|?|PD|=x20+y20-a2,即﹟PA|?|PB|=|PC|?|PD|，這便是圓的割線定理.

思考2 將其中一割線PCD變成切線PT時(shí)(圖3)，由圖3考察x20+y20-a2的幾何意義知x20+y20-a2=﹟PT|2，所以|PT|2=|PA|?|PB|，這就是圓的切割線定理.

思考3 當(dāng)割線PAB也變成切線時(shí)，便得到圓的切線長定理.

可見上述四個(gè)定理是統(tǒng)一的，可用一個(gè)命題來描述：過定點(diǎn)的直線與定圓發(fā)生作用(相交或相切)，定點(diǎn)到交點(diǎn)(或切點(diǎn))所成的線段長的積不變.

推廣

將圓的有關(guān)相交弦定理推廣到圓錐曲線，情況如何?

如圖4，設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)內(nèi)部一點(diǎn)(有y20<2px0)，過P點(diǎn)的兩直線l1，l2分別交拋物線于A、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn)，直線l1,l2的傾斜角分別為α,β(α≠β)，斜率分別為k1,k2,將l1的參數(shù)方程化為x=x0+t玞osα，

y=y0+t玸inα，代入拋物線方程y2=2px(p>0)整理得：玸in2α?t2+2(y0玸inα-p玞osα)t+y20-2px0=0，|PA|?|PB|=|t1t2|=y20-2px0玸in2α=2px0-y20玸in2α ①

同理可得|PC|?|PD|=|t3t4|=y20-2px0玸in2β=2px0-y20玸in2β ②

探究

(1)顯然α，β均不等于零，因?yàn)棣?0或β=0時(shí)，直線l1,l2平行于x軸(對稱軸)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，并且①、②也沒有意義.

(2)因α≠β且α≠0，β≠0，所以當(dāng)α+β=π時(shí)，有玸in2α=玸in2β,則|PA|?|PB|=|PC|?|PD|或k1+k2=0，有|PA|?|PB|=|PC|?﹟PD|，我們不妨將這一結(jié)果稱為拋物線的“相交弦定理”.

思考1 當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)移至拋物線y2=2px(p>0)外部時(shí)，是否也有類似于圓的“割線定理”呢?

如圖5，當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)外部一點(diǎn)(有y20>2px0)時(shí)，由直線的參數(shù)方程同樣可得﹟PA|?|PB|=y20-2px0玸in2α=y20-2px0玸in2α,同理可得|PC|?﹟PD|=y20-2px0玸in2β，所以當(dāng)α+β=π且α≠0，β≠0或k1+k2=0時(shí)，同樣有

|PA|?|PB|=|PC|?|PD|，即拋物線有類似于圓的“割線定理”.

思考2 將其中一割線PAB變成切線PT時(shí)(圖6)，結(jié)論又如何呢?

假設(shè)切線PT的傾斜角為α，斜率為k1，由直線PT的參數(shù)方程可得玸in2α?t2+2(y0玸inα-p?玞osα)t+y20-2px0=0,由△=0得2x0玸in2α-y0玸in2α+p玞os2α=0 (1)，即2x0k21-2y0k1+p=0,k1=y0±y20-2px02x0 (2)，當(dāng)α滿足(1)或k1滿足(2)時(shí)，直線PT為過P點(diǎn)的切線，此時(shí)|PT|2=y20-2px0玸in2α=y20-2px0玸in2α或=(1+1k21)(y20-2px0).假設(shè)割線PCD的傾斜角為β，斜率為k2，同樣有|PC|?|PD|=y20-2px0玸in2β=y20-2px0玸in2β或=(1+1k22)(y20-2px0)，所以已知過P點(diǎn)的切線PT的傾斜角α或斜率為k1，當(dāng)割線PCD滿足α+β=π或k1+k2=0時(shí)，有|PT|2=|PC|?|PD|，即為拋物線的“切割線定理”，必須強(qiáng)調(diào)的是應(yīng)先由切線 的傾斜角或斜率來決定割線的傾斜角或斜率，拋物線的“切割線定理”才能成立.

思考3 是否有類似于圓的切線長定理?

若過P點(diǎn)的切線斜率為k，由上思考2得2x0k2-2y0k+p=0,且△=4y20-8px0=4(y20-2px0)>0,知過P點(diǎn)有兩條切線，設(shè)其斜率分別為k1、k2(k1≠k2)，顯然只有k1+k2=y0x0=0，即y0=0時(shí)，(1+1k21)(y20-2px0)=(1+1k22)(y20-2px0)，所以當(dāng)P點(diǎn)落在對稱軸(y軸)上時(shí)才有“切線長定理”.

同樣推廣到橢圓，我們可以得到：

設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b)內(nèi)一點(diǎn)(b2x20+a2y02

y=y0+t玸inα代入橢圓方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)整理得(b2玞os2α+a2玸in2α)t2+2(b2x0玞osα+a2y0玸inα)t+(b2x20+a2y20-a2b2)=0(*)，顯然b2玞os2α+a2玸in2α≠0，則﹟PA|?|PB|=|t1t2|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2α+a2玸in2α=a2b2-b2x20-a2y20b2玞os2α+a2玸in2α ①

同理可得|PC|?|PD|=|t3t4|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2β+a2玸in2β=a2b2-b2x20-a2y20b2玞os2β+a2玸in2β②

易證當(dāng)α+β=π時(shí)，有|PA|?|PB|=﹟PC|?|PD|，不妨將此稱為橢圓的“相交弦定理”.

當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)外時(shí)，可得

|PA|?|PB|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2α+a2玸in2α，

|PC|?|PD|=b2x20+a2y20-a2b2b2玞os2β+a2玸in2β，稱為橢圓的“割線定理”.

與拋物線一樣，已知過橢圓外一點(diǎn)P的切線的傾斜角為α或斜率為k1，若橢圓的割線的傾斜角為β=π-α或斜率k2=-k1時(shí)，同樣有橢圓的“切割線定理”.同樣點(diǎn)P在橢圓對稱軸 上時(shí)，橢圓的“切線長定理”成立.

當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為雙曲線x2a2-y2b2=1內(nèi)部(b2x20-a2y20>a2b2)或外部(b2x20-a2y20

|PC|?|PD|=b2x20-a2y20-a2b2b2玞os2β-a2玸in2β ②，

當(dāng)過點(diǎn)P的兩直線l1，l2滿足α+β=π或k1+k2=0(且k1=玹anα=±ba)時(shí)，有結(jié)論﹟PA|?|PB|=|PC|?|PD|，我們稱之為雙曲線的“相交弦定理”和“割線定理”.

同樣由△=0得到雙曲線外部一點(diǎn)的切線的傾斜角為α或斜率為k1，若雙曲線另一割線的傾斜角為β=π-α或斜率k2=-k1時(shí)，雙曲線也存在“切割線定理”.同理，點(diǎn)P在雙曲線對稱軸上時(shí)，雙曲線也有“切線長定理”.

上述結(jié)論可用一個(gè)統(tǒng)一命題概括：過定點(diǎn)的直線與一圓錐曲線作用(相交或相切)，當(dāng)它們的傾斜角滿足α+β=π或斜率滿足k1+k2=0時(shí)，定點(diǎn)到交點(diǎn)(或切點(diǎn))所構(gòu)成的線段長的積不變，當(dāng)點(diǎn)在圓錐曲線的對稱軸上時(shí)，所成的切線長相等.