關于數學課后習題作業的初步探討

熊雪景

江西省九江市同文中學 (332000)

引言

在學習數學知識的教學活動中，學生完成一定數量的課后作業是學好數學知識極其重要環節.不少學生投入相當大的精力和時間，用于習題作業，但是效果并不理想.其中一個重要的原因是對課后習題作業的功能作用缺乏足夠的認識和理解，完成作業的方法不夠科學和有效.

本文試圖就上述問題作一初步探討.首先，分析數學教科書中為什么要設置相當數量的習題，從而闡述習題作業的功能、目的；并在此基礎上探討學生進行課后習題作業的基本方法，即在做題中應當注意的事項；最后，探討習題作業中“精練”與“多練”的關系.

一、習題作業的功能與目的

在所有的數學教科書中，每一章節或每一單元都配有習題，老師講完每章節或每單元都會布置相應的習題作業.這是為什么?功能是什么?要達到什么目的?

要回答這一問題，需從數學知識的特點以及學習數學知識的目的要求談起.數學知識一般包括概念、定義、性質、定理、公理、公式、基本法則、計算方法等基礎知識和基本技能.這些數學知識用數學符號表示或用文字表述并不復雜，特別是在中學階段所涉及的數學知識更是如此，一般都很簡明，對于具有一定的閱讀理解能力的人來講從字面上一般都能讀懂.但是，如果學習數學知識只是停留在符號形式或文字表述層面上，是不可能真正學會數學知識的，更不可能達到學習數學知識的目的和要求.

學習數學的目的在于運用所學知識和思想方法解決各種實際問題，而且要求能熟練運用.為此，必須深刻理解和掌握數學知識.

數學來源于實際.各種數學知識都是對大量的或一系列的相關特殊問題進行觀察、實踐、推理，運用抽象、歸納的方法去掉表面現象，抓住共有的特征，從特殊到一般而形成的，具有很強的普適性.如果我們只停留在符號形式或文字表述的層面上而不深入到它的實質、本質和可能應用去理解，就不可能真正理解數學知識，從而也談不上熟練運用，甚至連一般運用也不可能.比如八年級第一章勾股定理，文字表述為在直角三角形中，兩條直線邊(a、b)的平方和等于斜邊(c)的平方，數學符號表示為a2+b2=c2.這一定理是反映自然基本規律的一條重要結論，在數學發展中起著重要作用，體現了數形結合的思想，在現實生活中也有廣泛應用.如果學習勾股定理只停留在這一論述上，那么就不可能真正理解和掌握勾股定理.

正是基于上述情況，教科書也好，老師講課也好，都是通過設置或選定一些特定的實際情景或具體問題來介紹和講解有關數學知識.那么，通過這樣的介紹和講解，是不是就達到了深入理解、充分掌握和熟練運用的目的要求呢?一般來說，還是不可能的.許多在課堂上似乎聽懂了、理解了，但是仍然不會或者不能熟練運用課堂所學的知識來解決相關具體問題.

其主因就是因為缺乏動手實踐加強理解這一重要環節.無論是閱讀教科書還是聽老師講課，實際上學生是在接受編者或者老師根據他們自身的學習和實踐所獲得的對這些知識的認知理解.但是，學生沒有自身的實踐體驗，理解這些知識不可能象編者或老師理解得那樣深刻，掌握得那樣充分.也就是說，在學習數學知識過程中，要深入理解、充分掌握和熟練運用所學知識，有一個不可或缺的環節，就是親自實踐.教科書配置的相關習題，就是為學生動手實踐創造一個實際情境，老師講課之后布置習題作業就是為學生動手實踐提供一個平臺，通過相關習題作業的實踐活動，進一步加深對所學知識的理解，充分掌握和熟練運用所學知識.這也就是教科書中設置習題的主要功能，老師布置習題作業的主要目的.

二、習題作業的基本方法

在學習數學知識中，不少學生投入了許多精力和時間，做了大量的習題，但是并非每個人都達到了預期效果.究其原因，主要是對上節所述的課后習題作業的功能、作用缺乏應有的認識，從而對在進行習題作業時所應采取的基本方法，所應注意的事項，心中無數.在某種程度上，做題就是一切，目的并不清楚，有點為做題而做題，這樣的結果事倍功半.

為了達到上節所述的習題作業的功能、目的，應該怎樣進行習題作業呢?或者說，在課后習題作業的學習活動中，方法上應該注意什么呢?

第一，在做作業之前，必須認真進行復習，掌握所學知識

我們知道，每節課后教師都是針對所授的知識布置課后習題作業.課本中每一章、節之后的習題都是針對這一章、節的知識點而設置的.如果作業之前，沒有復習或復習了但并未掌握所學知識點，在這種情況下開始做題，達不到通過做題加深對所學知識和方法的理解、熟悉、鞏固的目的.結果很可能是不知怎樣解題或花去很多時間，但做題質量不高，效果不理想，事倍功半.

第二，在動手解題之前，必須認真審題，分析題意，形成正確的解題思路

編者設計或者老師布置一個習題，都是有一定的針對性.學生做題時，首先要認真分析所做習題屬于哪一類型的數學問題，涉及哪些方面知識點，應該采用什么方法，運用什么公式等，形成一個正確或基本正確的解題思路.

比如，某次足球聯賽中采用循環賽制，參賽的隊伍總共有14支，那么總共要進行多少場比賽?

首先分析題意，所謂循環賽制，就是所有參賽的隊伍中，每兩個隊伍之間都要進行一場比賽.如果讓參賽隊的隊長站在同一直線上，把每個隊長看作是直線上的點，每兩隊交一次手實際上就構成一條線段，那么有多少條線段就進行了多少場比賽.所以此題實際上就是數線段的數學問題，采用的數學計算公式為T=n(n-1)2.(T為線段總條數，n為直線上點的個數)

通過以上分析，理清了解題思路，接下來的解題過程就變得容易了.但是，有些學生在做題時，拿起題目就做，做得不對或做不下去了又從頭來過.這樣做題，即使最終做出來了，效果也不大，因為這對提高運用所學知識解決實際問題的能力幫助不大.只有通過解題實踐掌握了解決這類問題的基本規律和方法，那么再遇到類似的問題時就會迎刃而解.現實學習活動中，有的學生在課后習題中做過類似的問題，但是當這一類問題稍作變化時，就不會做了.究其原因，就是不太注意認真分析問題，形成正確的解題思路，并未從中獲得或掌握這類題的基本規律和方法.

第三，做題中遇到不會的題目要認真閱讀書本，理解有關內容，從書中找到解題鑰匙

一般來說，課堂聽懂了，課后又認真復習消化，真正掌握了所學的知識和方法，那么完成相關習題作業不會有什么困難.反之，在習題作業中，有的題目不會做，或者做不下去，這說明對題目所涉及的知識和方法學得不夠深透，沒有真正掌握.所以，這時不是急于怎么把題目做出來，而是應該帶著這個問題有針對性地再去認真研讀有關知識的章節，重新消化理解.只要真正消化理解了，就能找到解題的鑰匙，問題就迎刃而解.

第四，做完作業后，應該認真回顧與總結

通過一定的課后習題作業，達到鞏固和熟悉新知識，加深對相關知識和方法的理解的目的.那么怎樣達到這個目的呢?其中一個重要的環節就是做完習題作業之后，要認真回顧和總結.

首先，對一些典型題目，認真回顧一下解題的過程，哪些做題步驟正確，哪些方面走了彎路，從而可以提高運用所學知識解決具體問題的能力.其次，對于一些比較典型的題目，總結一下這類題目解題的基本思路和方法.最后，在做題過程中，必然要涉及到一些知識點和有關方法，做完之后重溫一下以達到熟悉和鞏固的目的.此外，還應注意思考，對這些知識點或方法增加了哪些新的認識和理解，從而達到加深對相關知識和方法的理解.

七年級上冊習題3.7中有這樣的一道題：用火柴棒按下圖方式搭三角形，搭n個這樣的三角形需要多少根火柴棒?

下面簡要總結一下解題思路：

1.這道題屬于探索圖形構成規律的類型問題.

2.探索規律涉及的基本方法是按圖形(三角形)構成要素，通過觀察圖形來歸納圖形構成的規律，然后用代數式表示.在此題中，從前往后觀察，搭第一個三角形用三根，以后每多搭一個就要加兩根，所以搭n個即需要3+2(n-1)=2n+1根.

3.考慮問題拓展：實際可以從多個角度來探索規律.

玦.從三角形構成的整體來分析，每個三角形只要兩根，最后一個加一根封口，n個需2n+1根；

玦i.若按每一個圖形組成火柴棒的數量組成數列：3、5、7、9…進行歸納可得第一個數為3，以后每一個數加2，第n個圖形對應的數字為3+2(n-1)=2n+1.

這一例子較為簡單，用它來說明習題完成之后如何梳理總結解題過程思路這一問題時，更能突出問題的本質.

上述四點，既是做好作業應遵循的方法，也是一種良好的學習習慣.

三、習題作業中的“精練”與“多練”

如上所述，學習數學只靠認真聽課和閱讀課本是不夠的，必須動手實踐——做題，并且還要多做題、多演練.大多數學生也是這樣做的，很重視課后習題作業，希望通過做題來提高解題能力.但是，有些同學并未達到最佳效果.為什么會這樣呢?主要是做題時演練的方式不當.要達到深入理解、充分掌握和熟練運用所學知識這種狀態，需要經歷一個從“精練”到“多練”的習題演練過程，也就是說要采取“精練”與“多練”兩種方式進行習題演練.

什么是“精練”，就是剛剛學習新內容、接觸新知識和方法時，采取的一種習題演練方式.剛剛學習新知識，此時最為需要的是及時熟悉、鞏固所學新內容，加深對相關知識和方法的理解.其中一個重要的途徑，就是通過習題演練達到這一目的要求.為此，在習題演練時，應該“一步一步、有根有據”地進行，這就是精.

比如，學習解一元一次方程中，解題分五個步驟：1.去分母，2.去括號，3.移項，4.合并同類項，5.系數化為1.剛剛學完新課，應照著這五步依次進行，并且每步要有根有據，即依據什么性質、運算法則等來解題的，這些都要做到清楚明白.這種“一步一步，有理有據”的習題演練，就是習題“精練”，有利于對所學概念、法則深入理解.

什么是“多練”?就是通過“精練”對所學知識有了深入理解后而進行的一種習題演練方式.“多練”從直觀意義上理解就是多做題，多進行習題演練.

為什么在“精練”之后還要多做題呢?如前所述因為學習數學知識最根本目的在于充分掌握和熟練運用.在“精練”基礎上，進行多練，就可以在更大的范圍內，選取更多、更為復雜的問題來演練，這有利于提高運用知識的水平.

比如，數幾何圖形，基本原則是不遺漏、不重復.依據這個原則，一般采取兩種方法：一是根據圖形組成復合圖形來數；二是根據幾何圖形構成的要素或特點來數.

例1 如下圖，數出直線a上的線段條數.

解：基本線段：AB、BC、CD三條；兩條基本線段構成的復合線段：AC、BD二條；三條基本線段構成的復合線段：AD一條.∴線段共有3+2+1=6條.

以上是通過基本線段構成復合線段來解的，通過這樣的精練，就可加深對基本圖形構成的復合圖形這一類數圖形個數方法的理解.

在“多練”中，我們可以選取更多、更為復雜的圖形來演練.

例2 如圖，數出圖中矩形的個數.解：矩形個數可由矩形中任意相鄰兩邊為一組合來確定，有多少個這樣組合，就有多少個長方形.

橫向分析：線段條數為4+3+2+1=10條；縱向分析：線段條數為2+1=3條；因為由一橫一縱兩條線段就可得到一個子矩形，所以矩形個數為10×3=30個.

不難看出，上題直接運用了例1中數線段的方法，這就是通過“精練”中獲得的結果運用到“多練”中去求解題目.所以“多練”側重知識運用，而不是練習基本知識本身.這樣的訓練越多，就越能提高運用知識解題的能力，為了達到熟練運用，必須要多做題即“多練”.

通過上述說明，不難理解，“精練”側重于對所學知識和方法的理解，因此要求“一步一步，有理有據”進行.“多練”側重于提高運用知識的能力，不要求一步一步、遵循基本步驟，可以直接運用基本知識或基本結果.

那么在實際學習過程中，怎樣處理好“精練”與“多練”之間的關系呢?

首先，以教科書中的習題及老師課后布置的作業為對象進行“精練”.因為這些題目都是針對書中所介紹的或是老師上課所講解的知識精心編寫或布置的.目的是通過對這些習題的練習，達到熟悉和鞏固基本內容，加深對相關知識和方法的理解.所以必須抓住這些習題，投入較多時間，進行“精練”來達到目的.其次，在精練基礎上，選取一些質量好、針對性強的“名題”、“名卷”作為課外輔助習 題，進行多練.因為，如前所述，要能將所學知識充分掌握、熟練運用，靠一、二次“精練”是達不到目的的，應該通過“多練”來達到這一要求.

當然，“精練”與“多練”都是相對而言，而非絕對的.精練側重知識的理解，同樣有助于運用知識能力的提高，“多練”側重知識的運用與拓展，同樣也有助于對知識的理解.實際上“精練”是“多練”的基礎，“多練”是“精練”的深化，學生應在實踐中結合自己的實際情況處理好“精練”與“多練”的關系.