精彩來自不斷的探究

李　斌

江蘇省如東縣先民中學 (226405)

美國數學教育家波利亞指出：“學習任何東西，最好的途徑是自己去探究發現”.在數學教學活動中，如果沒有探究，就不可能有學生的主動參與，不可能有學生的思考與相互之間的思維碰撞而迸發出智慧的火花，學生的創新能力就得不到真正的磨煉和提高.如何引導學生在探究中學習，在探究中成功，在探究中創新，本文根據自己的教學實踐，談談自己的一些做法和認識.

一、引導學生探究數學應用

新課標明確指出：數學教學要緊密聯系學生的生活實際，從學生的經驗和已有知識出發，創設有助于學生學習、交流的情境，使學生通過觀察、操作、歸納等活動加以探究和解決.只有讓學生體會到數學源于生活，用于現實，即“生活即數學”，才能提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，掌握基本的數學知識和技能，培養創新的意識.

如在教學正方形時，我設計了這樣的問題：

例1 有一塊正方形的土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路將這塊土地分成形狀相同且面積相等的四部分，若道路的寬度可忽略不計，請設計幾種不同的修筑方案.(在所給的三張正方形圖紙上分別畫圖，并簡述畫圖步驟)

圖1、圖2的方法學生較容易想到，學生很快畫出了圖形并給予了解答，對于圖3的畫法學生難以想到，我適時的給予引導：圖1、圖2中所畫的兩條直線都經過哪一點?它們的位置關系 如何?然后讓他們討論探究，引出圖3：過正方形的中心O任作兩條互相垂直的直線，將正方形分成4塊，運用正方形的性質，可以證明四部分的面積相等，符合題目要求.

這樣的問題是實際生活中的問題，從中學生“問題解決”的能力得到了充分的展示和發展， 也使學生養成用數學觀點和數學方法去觀察問題、分析問題、解決問題的自覺意識和思維習慣，從而培養學生的創新意識.

二、引導學生探究開放問題

在教學中適當引入開放探索性問題，給學生創造思維的空間.傳統的封閉題條件完備、答案唯一、有固定的套路，學生通過模仿就可以掌握，不能完全滿足對學生數學思維能力的訓練.而開放探索性問題的特征是題目的條件不充分或沒有確定的思路、結論，所以其解題策略往往也是多樣的.它為學生提供了更多的交流、合作與探究的機會，充分發揮學生主體作用，有利于培養學生的數學創新思維.

例如在學習工程問題時，為提高學生根據已有知識和經驗建構新知識的能力，我引入這樣的一道開放題：

例2 課外活動時，老師來教室布置作業，有一道題只寫了：“學校需制作一塊廣告牌，請來甲乙兩名工人.已知甲單獨完成需4天，乙單獨完成需6天……”，就因臨時有事暫時離開教室，留下的殘缺你能幫他補齊嗎?學生通過討論，總結了幾種問題的類型.如①兩人合作需幾天完成?②甲先做一天再和乙合作，共需幾天完成?③兩人先合作一天后甲離開，還需幾天完成?④若乙先做一天，然后甲乙合作一天，由于甲有事離開，剩下的由乙完成，還需幾天?⑤若乙先做一天，然后甲乙兩人合作完成，制作費共500元，問每人各得報酬多少元?問題由淺入深，充分反映了不同層次學生的認識水平，使每一位學生都有獲得一份成功的喜悅.

這樣的題目可使不同層次的學生都能得到發展，有助于克服封閉式題目對學生帶來的思維定勢，激勵學生深入探究，極大地提高了學生內在學習的動力.

三、引導學生探究新穎解法

在教學中，引導學生跳出常規解法的圈子，通過轉換題目的結構、變更問題視角來探究新穎的解法是培養學生產生創新靈感的有效途徑.

例3 已知實數x、y、z，滿足x=6-y,z2=xy-9，求證：x=y.

本題若用常規解法比較困難，引導學生觀察、探究：由已知得x+y=6,xy=z2+9，根據韋達定理的逆定理，設x、y是一元二次方程t2-6t+z2+9=0的兩根，因為x、y為實數，利用根的判別式定理的逆定理得△=(-6)2-4(z2+9)=-4z2≥0，則必有z=0，從而△=0，故方程有兩個相等的實數根，即x=y.這樣做使解題化難為易，明快簡潔.

又如已知三角形三邊為a2+b2,4a2+b2,a2+4b2,求此三角形的面積?多數學生初看這道題，不知如何解.引導學生變換思維角度，另辟蹊徑.若能聯想到勾股定理，利用數形結合，即可根據三邊長構造如圖4的圖形.

∵AE=a2+4b2,EF=a2+b2,AF=4a2+b2,∴S△AEF=S┚匭蜛BCD-S△ABE-S△EFC-S△ADF=32ab.

怎么樣?數形結合，多么美妙.利用圖形的直觀性，化抽象為具體，化繁難為簡易.在感受和理解代數與幾何之間內在聯系和統一的基礎上，深刻體會其中蘊涵的數學思想.

四、引導學生探究解題途徑

現代教學論認為：實現教學目的一個行之有效的方法，是引導學生去“發現”，去“探究”，直至“問題完美解決”.布魯納說：“探索是數學教學的生命線”.因此，在教學中，哪怕學生對問題已作出一種解答，也不應讓其淺嘗輒止，而是要引導他們廣開思路，用盡可能多的方法去處理同一個問題，即一題多解.這樣，既能促進知識之間的滲透和遷移，又能充分挖掘學生的潛能，孕育出奇思妙想，催生出創新的碩果.

例4 如圖5，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島 在B島北偏西40°方向，從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度?

用書本上的方法解完后，讓學生思考有無其他解法，結果學生想出了下面另外五種解法.

方法1：如圖6，由AD∥BE可知∠DAB+∠ABE=180°，又因∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°，所以∠CAB+∠ABC=90°，進而得∠ACB=90°.用此法解答后對題目進一步反思發現∠DAB=80°是一個多余條件，同時還明白：求三角形的一個角的度數，不一定要求出其他兩個角的具體度數，只要求出其他兩個角的和即可.

方法2：如圖7，過C作CN∥DA，易求出∠1=50°,∠2=40°，進而求出∠ACB=90°.

方法3：如圖8，過C作MN⊥DA，垂足為M，交BE與N，先求出∠1=40°，∠2=50°,易求∠ACB=90°.

方法4：如圖9，過C作MN∥AB交DA于M，交BE于N，先依次求出∠1=100°、∠2=80°，再分別求出∠3、∠4的度數，進而求出∠ACB=90°.也可以先由∠1+∠2=180°,∠DAC+∠EBC=50°+40°=90°,求出∠3+∠4=90°，進一步求出∠ACB=90°.

方法5：如圖10，延長AC交BE于M，易得∠1=50°,再求出∠2=90°，進而求出ACB=90°.

比較以上各種解法，發現方法2和方法5較簡捷.

實踐證明，對例題的解法反思，能幫助學生加強知識間的聯系，拓寬解題思路，同時又能發展學生的創新思維.

五、引導學生探究題目變式

在教學中要鼓勵學生對問題進行適當的延伸和發展，設計一些探究性練習，給學生提供自主探索的機會，經歷“觀察、實驗、猜想、證明、比較、推理”等數學思考，體驗數學問題的探索性和挑戰性，培養學生的探究能力，讓練習的過程成為促進學生學習方式轉變的過程.

例5 如圖11，⊙O1和⊙O2外切于A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點，求證：AB⊥AC.

題一出示，學生馬上想出多種證明方法，如通過作兩圓的公切線來證明，作兩圓的連心線來證明等，問題得到解決以后，為了開闊學生的思路，教師作了適當的引導：變換兩圓的位置關系還得到這樣的結果嗎?學生們馬上興奮起來，兩圓外離時能有垂直關系嗎?兩圓相交時能有垂直關系嗎?熱烈的爭論之后學生們饒有興趣的埋頭作圖、思考 ，很快就有了結果，如圖12、圖13.

而且，同學們還討論出了許多證明方法，更有同學提出：如果把O1O2延長，與兩圓相交，連接AB、A′C，是否也有上述垂直關系?這又進一步深化了，根據三種位置關系，很快得出圖14、圖15、圖16.

通過變換命題、解法、圖形來探索新問題，發現新見解，不僅能鞏固所學的知識，開闊學生視野，收到舉一反三、觸類旁通的效果，不僅滿足不同層次學生的探究需求，而且也提高了學生的思維品質.

將探究性學習引入課堂，讓學生以主體參與教學過程，自己去發現、探求，經歷問題解決的全過程，最大限度地將學生引向對數學知識本質的認識.只有這樣，才能使課堂成為學生自主探究活動的場所，成為同伴間討論交流和充分展示自我的舞臺，也才能使課堂充滿生命氣息，促進學生的全面發展.