淺談數學課堂教學中的問題設計

陸潔清

江蘇省無錫高等師范學校 (214001)

“問題是數學的心臟”，“提出一個問題比解決一個問題更為重要”.數學學習過程是不斷提出問題、解決問題的過程.問題決定學習的方向、深度，問題提出的質量決定學習的質量，直接影響著教學效果與學生的思維方式.在教學中教師通過適時恰當的提出問題，給學生提問的示范，可使學生領悟發現和提出問題的藝術，逐步培養學生的問題意識，孕育創新精神.

一、在知識形成過程的“關鍵點”上設問

對新知識的學習，不能只滿足于掌握知識的表面敘述，還特別要透過語言表述，掌握知識的內在本質特征.建構主義學習理論主張：概念教學的重點并不在于概念本身，而在于建構概念的整個過程，在于學生本人的思維構造.通過學生主體探索，將新知識全方位的、多方面的與各種知識建立聯系的過程中獲得新知，從而在建構概念的過程中獲得成功的心理體念，進一步激發學生學習的積極性.在概念教學過程中，教師要精心設計問題，引導學生思維一步一步遞進、完善，最終自己建構概念的內涵和外延.如：異面直線所成角的概念，可設計如下問題：

(1)教師用教具展示兩異面直線的關系，并要求學生回答變化過程中有什么區別?(大部分學生能回答“角”的大小在變化，這時啟發學生回顧初中角的定義)

(2)“角”是在一個平面內的，而兩異面直線不同在任何一個平面內，如何將異面關系轉化成同一平面內的相交關系呢?

(3)相交直線a′和b′所成的角的大小與點O的位置關系有關嗎?

(4)相交直線所形成的兩組對頂角都能為異面直線所成的角嗎?

通過上述問題的探究學生提出了概念的關鍵點：任取點，作平行線，銳角(或直角).學生自己能歸納出異面直線所成的角的概念：a,b是兩條異面直線，經過空間任意一點O，作直線a′∥a,b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a、b所成的角.

二、在知識之間聯系的“聯結點”上設問

學生學習知識的過程，實質上是在舊知基礎上，通過同化與順應構建新的認知結構的過程.數學課堂教學中，在新舊知識的聯結點處精心設計問題，可以引導學生關注新舊知識的內在聯系，在舊有知識的啟發下，通過自主探究獲得新知識，并在獲得新知的過程中提升能力.類比是尋找兩類事物聯系的有效辦法，對于兩個相似或相近的知識點，利用類比法教學會收到較好的效果.

在整個高中數學中，指數與對數、指數函數與對數函數、平面角與二面角、等差數列與等比數列、排列與組合、橢圓，雙曲線與拋物線、余弦函數與正弦函數、余切函數與正切函數、平面向量與空間向量、點點之間的距離，點線之間的距離，線線之間的距離與點面、線面和面面間的距離等概念，都是相似或相近的概念，在教學中，教師要盡量選取學生熟悉的、研究內容和方法上相近的知識作為類比對象幫助學生學習新的知識.例如：學習雙曲線的簡單幾何性質前，學生已學習了橢圓的簡單幾何性質，初步掌握了通過曲線方程研究曲線性質的基本思想方法.教學《雙曲線的簡單幾何性質》時，可先引導學生回顧如下問題：我們是從哪些方面研究橢圓的簡單幾何性質的?這些性質分別是怎樣研究的?分別得出了怎樣的結論?這樣的設問：使學生尋找到恰當的類比對象，既能使學生找到解決問題的思想方法也強調了知識之間的聯系與結構，從而逐步完善學生的認知結構.

又如，在教學三棱錐體積公式時可設置如下問題：平面幾何中類似的課題是什么?那時是如何解決的?求三棱錐的體積的思路可能是怎樣的?這樣的設問：使學生尋找到恰當的類比對象，并回顧其解決過程.通過類比求三角形面積的思路：(1)把三角形補成同底等高的平行四邊形；(2)把平行四邊形分解成面積相等的兩個三角形.可使學生猜想出求三棱錐體積的思路：(1)把三棱錐補成同底等高的三棱柱；(2)把三棱柱分割成體積相等的三個三棱錐.這樣的設問既能使學生找到解決問題的思想方法也強調了知識的聯系與結構.

三、在解決問題策略的“關節點”上設問

在解決數學問題時，我們要以數學思想方法為指導，尋找解決問題的策略，在教學中我們要利用類比、猜想、化歸等思想方法精心設計問題.使學生親歷概念的形成過程，定理公式的發現過程以及解題思路的探索過程，進一步培養學生的創新能力.

例如，證明：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等.

先把問題符號化：已知∠BAC和∠B1A1C1的邊AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同.求證：∠BAC=∠B1A1C1.

這是立體幾何中的一個定理，可設置以下問題來引導學生探索它的證明思路.

1.要證明兩個角相等，常用的方法有哪些?(大多數學生都能想到：可通過構造兩個全等三角形，來證明兩個角相等.)

2.如何構造兩個全等的三角形呢?(大多數學生都能想到：在∠BAC和∠B1A1C1的兩邊上分別截取AD=A1D1，AE=A1E1，連結DE，D1E1)

3.如何證明△ADE與△A1D1E1全等呢?(大多數學生都能想到只要證明DE=D1E1)

4.在圖中DE與D1E1間并沒有直接聯系，如何證明它們相等?你利用條件了嗎?(大多數學生都能根據AB∥A1B1，AC∥A1C1得出：AD與A1D1，AE與A1E1平行且相等)

5.有兩條線段平行且相等你能得到什么結論?(大多數學生都能想到以這兩條線段為對邊的四邊形為平行四邊形，于是自然想到連結A與A1，D與D1，E與E1.最后通過證明四邊形DEE1D1是平行四邊形得到：DE=D1E1)

四、在數學問題變式的“發散點”上設問

創造心理學研究表明：思維的發散性是影響創新思維的重要因素.思維越發散，則思維的創新性就越強.通過“變式”，可使學生從不同的角度去觀察事物，思考問題，深化理解概念；可使學生變換信息的表達方式，豐富對問題的認識，將現實問題轉化為數學問題，將陌生問題轉化為熟悉的、簡單的或已經解決的問題；可使問題“開放”、“發散”，往往能使學生的認識逐步深化，思維從單一走向多向.因此在課堂教學中，教師要引導學生對數學問題作多層面、多角度的變式與探究；有意識地引導學生從“變”的現象中發現不變的本質，從不變中探求規律.逐步培養學生靈活多變的創新思維品質，完善學生的認知結構，培養學生發現問題、提出問題、解決問題和探索創新的能力.

對于一些典型問題解決后，改變原題的結構或作適當的引申，往往可使一題變一串，更重要的是把問題向更高、更廣的層次縱向挖掘，橫向延伸，需要學生更廣、更深的思考，這樣有利于學生拓展思路，提高應變能力.由一個基本問題拓展到多個問題的模式為：

例如高二解析幾何教材上有這樣一道習題：在橢圓x245+y220=1上求一點，使它與兩個焦點的連線互相垂直.

這是一道考查橢圓概念和性質的基本題，

是許多高考題的原型，很具研究價值，可引導學生作進一步的探究得出下列問題：

問題1 設橢圓x245+y220=1的焦點為F1、F2，在橢圓上是否總能找到這樣的點P(x0,y0),使∠F1PF2分別為銳角和鈍角.(通過討論得到：當x0<-3或x0>3時，∠F1PF2為銳角；當-3

問題2 在橢圓x245+y220=1上是否總能找到這樣的點，使它與M1(-m,0)、M2(m,0)(m>0)的連線互相垂直.(當25≤m<35時，這樣的點才存在)

問題3 在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上是否總能找到這樣的點，使它與兩個焦點的連線互相垂直.(當c>b，即a>2b時，這樣的點有4個；當c=b，即a=2b時，這樣的點有2個；當c

問題4 把橢圓變為雙曲線呢?拋物線是否也有類似的性質?一般的圓錐曲線呢?

(對于雙曲線這樣的點有4個，由于拋物線只有一個焦點，為此把焦點關于頂點的對稱點想象為一個“虛”焦點，用類似的方法也能得出這樣的點必存在，且共有兩個.)

通過上述探究，可得出以下結論：對于離心率e不小于22的圓錐曲線，這樣的點總存在.

五、在學生思維的“最近發展區”內設問

維果茨基將兒童發展水平分為：現有水平、潛在水平和介于這兩者之間的“最近發展區”.數學思維的教學應從學生思維的潛在水平開始，通過教學把潛在水平轉化為新的現有水平，在新的現有水平的基礎上，又出現新的思維潛在水平，并形成新的思維最近發展區.這種循環往復不斷轉化和思維的發展區層次逐步形成的過程，就是學生不斷積累知識和推動數學思維發展的過程.“好問題”是“學生跳一跳能摘到好果子”，它要在學生思維最近發展區內，在學生思維最近發展區內的問題才能形成認知沖突、激發求知欲、激活思維.

例如等差數列的前n項和公式的推導可設計如下問題：

學生知道高斯算法(現有水平)：

問題1 1+2+3+…+100=?

1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=50×(1+100)=1002×(1+100)=5050.

問題2 上面的問題可以看成是等差數列：1，2，3，…，100的前100項之和.在上述求解過程中你發現了什么?

學生能回答(一個新的現有水平)：所求和可用首項、末項及項數n來表示，且任意的第k項與倒數第k項的和都相等，都等于首項與末項的和.

問題3 一個一般的等差數列{a璶}的前n項和S璶能否用首項、末項及項數表示呢?

在這樣的特例啟發下，學生容易將問題轉化為(一個新的潛在水平)：S璶=(a1+a璶)+(a2+a﹏-1)+(a3+a﹏-2)+…

從而又形成了一個新的“最近發展區”，然后，教學又從新的潛在水平開始.