注重數學思維訓練　培養良好的數學思維方式

張麗娟

江蘇省無錫高等師范學校 (214001)

“數學是思維的體操”，數學思維是人腦和數學對象交互作用，并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動.

由于創造性思維并非是單一的思維形式，因此，注重數學思維訓練，必須充分重視形象思維，發散思維和直覺思維的培養，并注意各種思維方式的辨證運用，培養良好的數學思維方式.并通過具體的解決數學問題的獨立探索和鉆研，領會數學思維的規律和方法，發展學生敏銳的觀察力和豐富的想象力，從而提高學生的數學思維.

人們在探求未知知識的過程中，由于目的的不同以及思維形態的差異，在由已知條件過渡到結論的思維活動方式方面也往往具有多樣性.根據數學認識過程的特點，本文從以下三個方面來探討這個問題.

一、形象思維是培養良好數學思維的基礎

形象思維，是一種借助于具體的形象來展開的思維過程.數學中的形象思維不同于其他形象思維形式(如藝術的形象思維、文學的形象思維)，它是以表象、直感和想象為基本形式，以觀察實驗、聯想類比等形象方法為基本形式的思維方法.

形象思維接通媒介的橋梁是形與象，它有自己專門的活動領域.把數學文字用圖形刻畫出來，將代數問題轉化為幾何問題，平面幾何中輔助線的添加，立體幾何中借助圖形和形象進行的推理，變換角度觀察圖形都是形象思維的具體體現.

在培養形象思維時，經常是由形與象經過思維形成概念，再 由概念聯系形與象進行推理，形與象抽象形成的概念與形象之間多次反復地聯絡、交換信息，從而使形象思維深刻化.

例1 已知a,b分別是方程x+玪g玿=10與x+10瑇=10的解，求證：a+b=10.

分析：通過形象思維，借助直觀，根據題意可把一元方程的解看成兩個函數圖像交點的橫坐標，再利用函數的性質進行證明.

證明：如圖1，∵x+玪g玿=10,x+10瑇=10,∴玪g玿=10-x;10瑇=10-x.于是a,b分別為函數y=玪g玿與y=10瑇的圖像與直線y=10-x交點的橫坐標，設兩交點分別為A(a,10-a),B(b,10-b)，由于函數y=玪g玿與y=10瑇互為反函數，且直線y=10-x與y=x相互垂直，所以點A與B關于直線y=x對稱，所以a=10-b即a+b=10.

例2 已知：正數x、y、z滿足方程x2+y2+xy=1,

y2+z2+yz=3,

z2+x2+zx=4,求x+y+z的值.

分析：此題看起來是一個解方程的問題，但如果利用代數的方法，通過解方程來求解，解題過程會非常的繁雜，為了直觀、清楚、快捷地解決問題，我們可根據三個方程的數式特征，構造三個有相同頂點且頂角為120°的三角形，再利用三角形的面積公式，便能順利的求解.

解：如圖2，構造三個有相同頂點且頂角為120°的三角形，設OB=x,OA=y,OC=z，由余弦定理：x2+y2+xy=1=AB2,y2+z2+yz=3=AC2,z2=x2+zx=4=BC2,∴AB2+AC2=BC2,故△ABC為直角三角形，∠A=90°,且S△ABC=S△OAC+S△OCB+S△OBA=32,即12xy玸in120°+12yz玸in120°+12zx玸in120°=32,∴34(xy+yz+zx)=32,∴xy+yz+zx=2,又∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=12［8-(xy+yz+zx)］+4=7,∴x+y+z=7.

利用直觀想象，借助形象思維是解決數學問題的關鍵，是培養和形成良好思維方式的基礎.

二、發散思維是培養良好數學思維的重要環節

發散思維是對已知信息進行多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題，探索新知識或發現多種解法或多種效果的思維方式，它的特點是思路廣闊，尋求變異，對已知信息通過轉換或改造進行擴散，派生以形成各種新信息，發散思維在思維方式上是逆向的、側向的和多向的，在思維內容上是變通的和開放的，它對推廣原問題、引申舊知識、發現新方法等具有積極的開拓作用.

發散思維有思路開闊的特點，并能向不同方向發展，很少受目標的限制，它往往能推翻成見，自由地探索新知的領域，以尋求更多更新的解決問題的方法、途徑和思路.在解決數學問題時，一題多解是發散性思維能力的最好體現.

例3 已知數列{a璶}是首項為1的正項數列，且(n+1)a﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0(n=1,2,3，…)，求它的通項公式.

解法一：當n=1時有2a22+a2-1=0，解出正數a2=12；當n=2時有3a23-2a22+a3a2=0,即6a23+a3-1=0解出正數a3=13；同理可求出a4=14…；由此猜想通項公式為：a璶=1n(n∈N)，然后再用數學歸納法證明.

解法二：∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,∴［(n+1)a﹏+1-na璶］(a﹏+1+a璶)=0,又

∵a﹏+1+a璶>0,從而(n+1)a﹏+1=na璶,利用遞推代換na璶=(n-1)a﹏-1=(n-2)a﹏-2=…=a1=1,∴a璶=1n.

解法三：∵(n+1)a2﹏+1-na2璶+a﹏+1猘璶=0,兩邊同時除以a2璶得(n+1)(a﹏+1猘璶)2+a﹏+1猘璶-n=0,由求根公式得正根a﹏+1猘璶=1+4n(n+1)-12(n+1)=nn+1,∴a璶=a1?a2a1?a3a2?…?a璶a﹏-1=1?12?23?…?n-1n=1n.

例4 求函數y=玸in玿+1玞os玿+2的最大、最小值.

此題既可以用代數的方法，也可以用幾何的方法來解決，引導學生利用不同的方法和途徑思考問題，能讓學生的思維發散，思路活躍，思維敏捷，辦法多而新穎.

解法一：由萬能公式轉化為關于玹an玿2的一元二次函數，然后根據玹an玿2∈R，用判別式求解.設玹an玿2=t，則y=1+2t1+t22+1-t21+t2=t2+2t+1t2+3,即yt2+3y=t2+2t+1,∴t2(y-1)-2t+(3y-1)=0,當y≠1時，t=玹an玿2∈R，∴△=4-4(y-1)(3y-1)=-12y2+16y≥0,∴0≤y≤43,即函數的最小值為0，最大值為43.

解法二：將原函數轉化為a玸in玿+b玞os玿的形式，引入輔助角φ，化為r玞os(x+φ)，然后由正、余弦函數的有界性求解.

∵y=玸in玿+1玞os玿+2，從而2y+y玞os玿=1+玸in玿,即y玞os玿-玸in玿=1-2y,∴y1+y2?玞os玿-11+y2?玸in玿=1-2y1+y2,設玹anφ=1y，則玸inφ=11+y2,玞osφ=y1+y2,∴玞os(x+φ)=1-2y1+y2,又|玞os(x+φ)|≤1，從而|1-2y1+y2|≤1，∴(1-2y)2≤y2+1,∴3y2-4y≤0，即0≤y≤43,所以函數的最小值為0，最大值為43.

解法三：把“玸in玿+1”看成“玸in玿-(-1)”，同理把“玞os玿+2”看成“玞os玿-(-2)”，再聯想到由兩點所確定直線的斜率公式，f(x)就可看成過兩點P(-2，-1)和Q(玞os玿,玸in玿)的直線的斜率，這里P是定點，Q點坐標滿足：x2+y2=玞os2x+玸in2x=1，即點Q是單位圓上的動點，于是，要求f(x)的最大、最小值，只要構造以下的輔助圖形，當點Q在單價圓上運動時，動直線PQ斜率的最大、最小值就是所求.

如圖3，過P(-2，-1)作單位圓x2+y2=1的切線PA、PB，A、B為切點，設∠APB=2α,則∠APO=∠OPB=α，所以PB∥Ox，∴k㏄B=0,玹anα=12,∴k㏄A=玹an2α=2玹anα1-玹an2α=43,所以函數的最小值為0，最大值為43.

發散性思維是一種開放性思維，培養和訓練發散思維，要力求通過類比、聯想等思維方式，使思維向各個方向擴散，實現開放式的、多元化的思維模式，以達到知識的融會貫通.

三、直覺思維是培養良好數學思維的有效途徑

直覺思維是指對一個問題未經逐步分析，僅依據內因的感知迅速地對問題答案作出判斷、猜想、設想，或者在對疑難百思不得其解之中，突然對問題有“靈感”和“頓悟”，甚至對未來事物的結果有“預感”“預言”等都是直覺思維.

數學直覺思維是人腦對數學對象及其結構、規律在整體上的直接領悟和觀察把握，即在觀察想象的基礎上調動個體原有的經驗，根據一定的意向，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷，并跳過若干中間步驟或放過個別細節而直接把握研究對象的本質和聯系，它不受固定的邏輯約束，并以潛邏輯的形式進行，以高度省略、簡化和濃縮的方式洞察數學關系，能在一瞬間迅速解決有關數學問題.

“跟著感覺走”是我們經常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念，在教學中教師應該把直覺思維在課堂教學中明確提出，并制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征，重視數學思維方法的教學.

例5 已知abc=1，則aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1的值是().

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2

分析：此題的條件少不易入手，根據直覺，結合條件“abc=1”令a、b、c的值都為1，則aab+a+1+bbc+b+1+cca+c+1=13+13+13=1，故選(A).

例6 已知x、y、z∈R+，且x+y+z=1，求函數f(x,y,z)=(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2的最大值.

分析：對于本題，若試圖直接求最大值，無從下手，觀察變量x、y、z可知，它們在條件中地位“平等”，在函數f(x,y,z)中具有對稱性.由直覺可以預測，當x=y=z=13時，函數取得最大值，此時，函數f(x,y,z)的值為(3+13)2+(3+13)2+(3+13)2=1003，預測(x+1x)2+(y+1y)2+(z+1z)2≥1003,故只需進一步檢驗預測結果的正確性.將無目標的最值求解題轉化為有目標的證明題，降低了原問題的難度.將不等式的左邊展開得f(x,y,z)=(x2+y2+z2)+(1x2+1y2+1z2)+6,當x=y=z=13時，x2+y2+z2=13,1x2+1y2+1z2=27，又13+27+6=1003,直覺告訴我們只需證明：x2+y2+z2≥13(1)，1x2+1y2+1z2≥27(2)，對于不等式(1)，不難通過不等式3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2證得；對于不等式(2)，可由不等式x+y+z≥33xyz，1x2+1y2+1z2≥

33(1xyz)2證得.

在解決問題的過程中，直覺可以觸發靈感的到來，但直覺中難免混有假象，必須通過邏輯推理來檢驗驗證，在揚棄的過程中得到正確的結論，因此我們在教學過程中要安排一定的直覺階段，給學生留下直覺思維的空間，使學生在實踐和訓練中，通過在整體觀察和局部觀察的結合中發現事物的規律，猜想、判斷、論證.

參考文獻

［1］[JP3]任樟輝.數學思維論.廣西教育出版社，1996年12月.

[JP]［2］郭思樂，喻緯.數學思維教育論.上海教育出版社，1997年2月.

［3］熊萍.數學思維與數學方法論.四川教育出版社，1992年.